Resolver de verdad$x$

Question

Resolver para $x \in \mathbb{R}$

ps

Intenté algunas sustituciones y cuadratura, pero eso no ayudó. También traté de usar las desigualdades como lo hice en mi problema anterior , pero eso tampoco ayudó.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

Dado: $ 1 + \dfrac{\sqrt{x+3}}{1+\sqrt{1-x}} = x + \dfrac{\sqrt{2x+2}} {1+\sqrt{2-2x}} $

Dejar $\alpha = x+3 $ ; $\beta = 2x+2$; $\left(\beta - \alpha\right) = x-1$

$\implies 1+ \dfrac{\sqrt{\alpha}}{1+\sqrt{4-\alpha}} = x + \dfrac{\sqrt{\beta}} {1+\sqrt{4-\beta}} $

$\implies \alpha + \dfrac{\sqrt{\alpha}}{1+\sqrt{4-\alpha}} = \beta + \dfrac{\sqrt{\beta}} {1+\sqrt{4-\beta}} $

Deje$f(x) = x + \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{4-x}}$, la ecuación dada se convierte en

$f(\alpha) = f(\beta)$

Tenga en cuenta que$f(x)$ es monotónico aumentando en su dominio,

$\therefore \alpha = \beta$

$\implies x+3 = 2x +2$

$\implies x=\boxed{1}$