Deje a, b$\in$$R$. Muestra esa $a^4+b^4+8\ge 8ab$

Question

Deje a, b$\in$$R$. Muestra esa $a^4+b^4+8\ge 8ab$.

La pregunta es de la sección de desigualdades de An Excursion in mathematics de Bhaskaraycharya Pratisthanan. Mi heurística incluye el uso de la desigualdad AM-GM. No puedo diseñar el problema para seguir adelante. por favor dame algunos consejos.

Answer 1

Estás en el camino correcto, solo un pequeño truco usando AM-GM Write$$a^4+b^4+8=a^4+b^4+4+4$ $ Y luego aplica AM-GM$$\frac{a^4+b^4+4+4}{4}\ge \sqrt[4]{16a^4b^4}$ $

ps

ps

O puede simplemente SOS es$$\frac{a^4+b^4+4+4}{4}\ge 2ab$ $

$${a^4+b^4+8}\ge 8ab$ $ Agrega las dos desigualdades anteriores para obtener$$(a^2-b^2)^2\ge0\implies a^4+b^4-2a^2b^2\ge0$ $

Answer 2

Tenemos$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq a^2b^2$ $ usando la desigualdad AM-GM, por lo tanto obtendremos$$a^4+b^4+8-8ab\geq 2a^2b^2+8-8ab=2(ab-2)^2\geq 0$ $

Answer 3

Otra forma de verlo es considerar lo siguiente. $$(a^2-b^2)^2\geq0$ $ Por lo tanto

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Luego, desde allí, procedes del mismo modo que el Dr.Sonnhard.