Supongamos que$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ es un polinomio irreducible sobre$\mathbb{Q}$. Sin embargo, puede ser que$f(x)$ sea un módulo reducible$p$ para algunos% prime $p$. ¿Cuál es la densidad de números primos$p$ para los cuales$f(x)$ se divide completamente en factores lineales sobre$\mathbb{F}_p$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
Puntos
5479
La densidad es $\frac{1}{|G|}$ donde $G$ es el grupo de Galois de $f$. En particular, es, al menos,$\frac{1}{(\deg f)!}$. Este es un corolario de la Frobenius densidad teorema, un poco más débil, pero al parecer; no sé de primera mano) de una manera más sencilla versión de la Chebotarev densidad teorema.
Por ejemplo, supongamos $f(x) = \Phi_n(x)$ $n^{th}$ cyclotomic polinomio. Los números primos para que $f(x)$ divisiones son precisamente los números primos congruentes a $1 \bmod n$; la densidad de estas es $\frac{1}{\varphi(n)}$ del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas. Y, de hecho, el grupo de Galois es $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$, que tiene el tamaño de $\varphi(n)$.
Stephan Aßmus
Puntos
16
Una respuesta completa sería Chebotarev densidad para, así, a nada. Lo que sí sé son algunos ejemplos; si $$ f(x) = x^3 - x + 1, $$ the density is $(1/6).$ Los números primos son aquellos que pueden ser expresados como $$ p = u^2 + uv + 6 v^2. $$ Mucho más de donde vino eso. Cito de la página 188 de la Cox, Teorema 9.12, así como 1991(?) el papel de Williams y Hudson.
EDICIÓN de lunes de Noviembre. 10; tengo un gran interés en la historia de este por mis propias razones. Una dirección acerca de las diferentes ciclo de particiones en el grupo de Galois, considerada como una permutación de grupo, se atribuye enteramente a Dedekind, ver COX. Por lo tanto, si, por cualquier prime no dividir el discriminante, el polinomio factores con una determinada partición de irreductible factor de grados, entonces existe al menos un elemento en el grupo de Galois cuya descripción del ciclo es el mismo.
El Frobenius dirección, aproximadamente a la misma hora (1880-1900) es que, una vez que el grupo de Galois tiene un elemento con un determinado ciclo de descomposición, luego una infinidad de números primos causa el polinomio para el factor con el patrón, este conjunto de números primos tiene una densidad de Dirichlet y natural de la densidad y la densidad es el número de Galois de los elementos del grupo con ese patrón, dividido por el tamaño de la plena grupo de Galois. Tenga en cuenta que, como Qiaochu menciona, no es sólo un elemento (la identidad) que tiene todos los ciclos de longitud $1,$ el elemento de identidad.
Oh; la mayoría de las personas parecen citar una fuente acerca de Frobenius de la Densidad, una encuesta realizada por Lenstra y Stevenhagen, especialmente las páginas 10-12 en el preprint vinculados.
El teorema de Frobenius ...merece ser más conocido de lo que es. Para muchas aplicaciones...basta del teorema de Frobenius, que es tanto más (1880) y más fácil de probar..
Creo que esto es hermoso. Prueba en un curso de licenciatura sería otro asunto, mostrando que no es un natural de la densidad llegó más tarde.
