¿Son estos los residuos correctos?

Question

$$\int_C \frac{z+1}{z^2-2z} dz$$ for the circle of $ \ lvert z \ rvert = 3$. Poles are obviously at $ z = {0,2}$. Can I calculate the residues by viewing the fraction in the integral as either $$\int_C \frac{\frac{z+1}{z}}{z-2} dz $$$$ \ int_C \ frac {\ frac {z +1} {z-2}} {z} dz$$ and plug into 2 and 0 into those numerators respectively? That would yield a final answer of $ 2 \ pi i * (\ frac {3} {2} + \ frac {1} {- 2}) = \ pi i ps

¿Esto se ve bien? Soy nuevo en residuos y quiero asegurarme de estar en el camino correcto.

Answer 1

Usted tiene un error adicional en su solución. \begin{align} \oint\frac{z+1}{z(z-2)}dz &= \oint\frac{(z+1)/z}{z-2}dz+\oint\frac{(z+1)/(z-2)}{z}dz\\ &= 2\pi i\bigl[f_1(2) + f_2(0)\bigr] \end {align} donde$f_1(z) = \frac{z-1}{z}$ y$f_2(z)=\frac{z+1}{z-2}$. Entonces $$ \ oint \ frac {z +1} {z (z-2)} dz = 2 \ pi i (3 / 2-1 / 2) = 2 \ pi i $$ También podríamos hacer este problema usando Residuos teoría. Tenemos polos simples dentro del contorno en$z=0,2$. Entonces \begin{align} \oint\frac{z+1}{z(z-2)}dz &= 2\pi i\sum\text{Res}\\ &=2\pi i\biggl[\lim_{z\to 0}z\frac{(z+1)}{z(z-2)}+\lim_{z\to 2}(z-2)\frac{(z+1)}{z(z-2)}\biggr]\\ &= 2\pi i(-1/2+3/2)\\ &= 2\pi i \end {align}