Probar$f(x)$ es cuadrático si$f(2x)=4f(x)$ y$f(x)$ aumentan con respecto a los positivos$x$

Question

El problema surgió en el contexto de la energía cinética, donde se puede comprobar a partir de la simetría de los principios que $E(2v)=4E(v)$ sin asumiendo $E=mv^2/2$ (ver, por ejemplo, la física stackexchange).

Mientras que uno puede hacer aún más la física a partir de este punto para probar el resultado deseado ($E$ es de segundo grado en $v$) - considere un sistema con otros números primos de bolas, a continuación, hacer el álgebra para demostrar el resultado racional de escala en $v$, a continuación, utilizar el hecho de que no son números racionales entre cualesquiera dos números reales y de asumir la función es creciente para demostrar que para todo real a escala, parece intuitivamente obvio a partir de este punto, de inmediato, que si $E$ es el aumento en $v$, $E=kmv^2$.

¿Cómo se podía probar este funcional de la ecuación?

Answer 1

Si suponemos que$f \in C^2$ (o al menos ese$f$ es dos veces diferenciable y$f''$ es continuo en$0$), podemos probar la singularidad. Tomando el derivado dos veces, obtenemos:

ps

Ahora tenemos, usando la continuidad de$$f(2x) = 4f(x) \implies f''(2x) = f''(x)$ en$f''$:

ps

Por lo tanto,$0$ es constante, por lo que$$f''(x) = f''\left(\frac{x}{2}\right) = f''\left(\frac{x}{4}\right) = \ldots = f''\left(\frac{x}{2^n}\right) \xrightarrow{n\to\infty} f''(0)$.

Ahora usando la respuesta de @Khosrotash, puedes deducir que:

ps

Answer 2

Esto es falso

Adopte una función de aumento arbitrario$f$ definida en$[1,2]$ tomando valores en$[1,4]$.

Luego defina$f(x) = 4^{-n}f(2^nx)$ siempre que$x\in[2^{-n},2^{1-n}]$. Entonces$f$ está aumentando y$f(2x) = 4f(x)$, pero$f$ no es en general cuadrático.

Además, si definimos$f(0)=0$, entonces$f$ es continuo en$0$, ya que$f(x) \leq 4^{-n}f(2) $ cada vez que$x \in [2^{-n},2^{1-n}]$.

Answer 3

Supongo que necesitarás asumir la continuidad de$E/v^2$ en$v=0$ para demostrar la singularidad.

Considere la función$$h(v)=\frac{E(v)}{v^2}.$ $ Tenemos$$h(2v)=h(v)$ $ y$h$ continuos en$0$.

La única función que cumple$h(2v)=h(v)$ y$h(0)=c$ y es continua en$v=0$ es$h(v)=c$.

Prueba:

Supongamos$h(b)\ne c$ para un porcentaje no nulo$b$. Entonces $h(b/2^N)=h(b)$. Para todos$\epsilon$,$\delta$, existe$N$ tal que$|b/2^N|<\delta$ pero$|h(b/2^N)-c|>\epsilon$, contradiciendo la continuidad de$h(v)$ en$0$ .

Answer 4

Sugerencia:$$f(x)=ax^2+bx+c \\f(2x)=4ax^2+2bx+c \\if \space f(2x)=4f(x)\to c=0 $ $, así que tenemos$$f(2x)=4f(x) \to 2f'(2x)=4f'(x) \\2(2a(2x)+b)=4(2ax+b) \to 8ax+2b=8ax+4b \\\implies b=0 $$so $ f (x)$ is in form of $ ax ^ 2$ and finally $ a> 0 $ porque$$f'>0 (\forall x>0) \implies f=2ax>0 \\a>0$ $ ahora conecte su información física en la última ecuación