Para demostrar que un divisor es un cuadrado perfecto

Question

Dejemos que $m$ y $n$ sean enteros positivos, donde $m$ es mayor que $n$ y $m+n$ es uniforme. Si $m^2-n^2+1\mid n^2-1$ , demuestre que $m^2-n^2+1$ es un cuadrado perfecto.

Realmente no tengo ninguna pista o idea valiosa sobre el problema. Puede ser que el método de descenso infinito se pueda aplicar aquí, pero quién sabe. Podemos convertir el problema en una ecuación diofantina cuya $LHS$ y $RHS$ y ser factorizado, pero no puedo proceder más.

Cuando $m<300$ hay 3 soluciones $(m,n) = (30,26), (105,99), (252,244)$

He oído que el problema es de un concurso de matemáticas ruso.

Answer 1

Escriba $m^2-n^2+1=cy^2$ donde $c$ es libre de cuadrados. Entonces $m^2=c^2y^2b^2$ para algunos $b$ y entonces se obtiene la ecuación Pell:

$$n^2-(c^2b^2-c)y^2=1$$

Tiene que demostrar que si $c>1$ es libre de cuadrados, no hay solución a esta ecuación de Pell con $n,cby$ la misma paridad, que es lo mismo que decir que $cy^2$ es impar. En particular, $c$ y $y$ debe ser impar.

Aquí es donde ocurre la magia:

$$4b^2(b^2c^2-c) = (2b^2c-1)^2-1.$$ Así que sólo tienes que demostrar que $(x,y)=(2b^2c-1,2b)$ es la solución elemental de $x^2-(b^2c^2-c)y^2=1$ lo que significa que no hay solución con $y$ impar.

No es una solución elemental cuando $c=1$ porque entonces $(x,y)=(b,1)$ es la solución elemental.

La fracción continua para $\sqrt{b^2c^2-c}$ comienza: $[bc-1,1,2b-2,1,2bc-2,\dots]$ con lo que se obtiene $y=2b$ y ninguna fracción continua anterior da una solución, excepto de nuevo cuando $c=1$ .

Cuando $c=1$ la solución elemental $(x,y)=(b,1)$ indica que la solución general de la ecuación de Pell es:

$$x+y\sqrt{b^2-1}=(b+\sqrt{b^2-1})^k$$

Pero si conoces los polinomios de Chebyshev, esto es:

$$x=T_k(b),y=U_{k-1}(b)$$

y $y$ es impar precisamente cuando $k$ es impar, así que tienes:

$$(m,n)=(bU_{2k}(b),T_{2k+1}(b))$$ Es la solución general.

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Me preguntaba si había una forma de evitar lo de la ecuación Pell. Quizás escribiendo $p=(m+n)/2,q=(m-n)/2$ y por lo tanto $m=p+q,n=p-q$ que se produce la condición:

$$4pq+1\mid (p+q)^2$$

No estoy seguro de cómo proceder a partir de ahí, pero tienes que demostrar que entonces $4pq+1$ es un cuadrado perfecto bajo esta condición, y ya no hay condición de paridad.

Escribir $4pq+1=a^2c$ con $c$ sin cuadrar, y $p+q=abc$ para algunos $b$ el reemplazo $q=abc-p$ y conseguir: $4p(abc-p)=a^2c-1$ o $4p^2-4abcp + a^2c-1=0$ , lo que significa que:

$$p=\frac{4abc\pm \sqrt{16a^2b^2c^2-16(a^2c-1)}}{8}=\frac{abc\pm \sqrt{a^2b^2c^2-a^2c+1}}{2}$$

Así que necesitas $a^2b^2c^2-a^2c+1$ para ser un cuadrado de la misma paridad que $abc$ Lo que nos lleva de nuevo a la ecuación Pell y a la condición de paridad.

Así que la ecuación Pell parece ser el corazón de esto.