Imagen de un conjunto nulo por una función continua de Hölder

Question

Consideremos una función continua $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y un conjunto nulo $A \subset \mathbb{R}^2$ . Suponemos que $$\forall (x,y) \in A^2, \ \ |f(y)-f(x)| \le ||y-x||^2$$ Además, suponemos que $f(A)$ es medible. Es $f(A)$ también un conjunto nulo (en $\mathbb{R}$ ) ?

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Es bien sabido que no toda función continua mapea conjuntos nulos a conjuntos nulos : la escalera del diablo no tiene la propiedad Lusin N. Pero, ¿qué ocurre cuando suponemos una condición de Hölder de orden 2?

Si además suponemos que la dimensión de Hausdorff de A es $\dim _H (A) < 2$ entonces, clásicamente, como $f$ es continua de Hölder de orden 2 en $A$ tenemos $\dim_H \big( f(A) \big) \le \frac{1}{2} \dim_H(A)$ . Así que $\dim_H \big( f(A) \big) < 1$ . Todos los subconjuntos medibles de la línea con medida positiva tienen dimensión Hausdorff 1, y asumimos que $f(A)$ es medible, por lo tanto $f(A)$ es un conjunto nulo.

Sin embargo, (véase por ejemplo Conjuntos de medida 0 en la línea con dimensión Hausdorff 1 en mathoverflow, o ¿Existen conjuntos de medida cero y de medida completa... ),

Existen conjuntos nulos $A \subset \mathbb{R}^2$ con dimensión Hausdorff $\dim_H(A) = 2$ .

¿Es posible dar una respuesta en el caso general $\mu (A) = 0$ ?

Pregunta subsidiaria : ¿es realmente necesario asumir que $f(A)$ ¿es medible? ¿No está implícito en la hipótesis anterior?

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Edición : Tenga en cuenta que $f$ se supone que Holder continuo de orden $2$ sólo en $A$ por lo que esta condición no impide a priori $f$ de ser constante en ningún conjunto abierto.

Answer 1

Sí, $f(A)$ es nulo. Por definición de la medida de Hausdorff y la coincidencia de las medidas de Lebesgue y Hausdorff en conjuntos medibles de $\mathbb{R}^n$ ya que $A$ es nulo, entonces para cada $\delta>0$ tenemos $$H^2_\delta(A):=\inf\left\{\sum_i diam(E_i)^2:A \subseteq \bigcup E_i,\, diam(E_i)\leq\delta\right\}=0.$$ Ahora bien, si $\{E_i\}$ cubre $A$ entonces $\{f(E_i)\}$ cubre $f(A)$ y además $diam(f(E_i))\leq diam(E_i)^2$ por la condición de Hölder. Esto implica que $$H^1_{\delta^2}(f(A))\leq \inf\left\{\sum_i diam(f(E_i)):A\subseteq \bigcup E_i,\,diam(E_i)\leq \delta\right\}\leq H^2_\delta (A)=0.$$ Ahora tomando el supremum como $\delta\to 0$ obtenemos $H^1(f(A))=0$ .

(Más en general $H^s(f(A))\leq C(|f|_{C^{0,\alpha}},\alpha)H^{s\alpha}(A)$ para un $\alpha$ -Función continua de Hölder $f$ que es un poco más fuerte que decir que la dimensión puede aumentar como máximo en un factor $\frac{1}{\alpha}$ .)

La mensurabilidad se desprende del hecho de que $f(A)$ es Hausdorff nulo, y la medida de Hausdorff coincide con la medida exterior de Lebesgue. Puedes echar un vistazo a esta otra pregunta para ver un resultado relacionado: Imagen de $A\subset \mathbb R^d$ bajo una función Lipschitz es $H^d$ medible.

Answer 2

Si $c>1$ y $f: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}$ satisfacer la condición $|f(u) -f(v) |\leq |u-v|^c $ entonces tenemos $$\left|\frac{f(x+h) -f(x) -0h }{|h|}\right| \leq |h|^{c-1}$$ dejando $h\to 0$ obtenemos que $f$ es diferenciable en el conjunto $\mathbb{R}^k$ y su derivada es igual a $0.$ Así, $f$ es constante en todo $\mathbb{R}^k$ . Así que la imagen de cualquier conjunto por $f $ es un conjunto de puntos y, por tanto, la medida es cero.