Integrar

Question

Evaluar la integral $$\int_{0}^{1}{x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin{\pi x}dx}$$ Bueno,yo creo que tenemos $$\int_{0}^{1}{x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin{\pi x}dx}=\frac{\pi}{e}$$

y

$$\int_{0}^{1}{x^{x}(1-x)^{1-x}\sin{\pi x}dx}=\frac{e\pi}{24}$$

Con tales buen resultado de estos integral, ¿por qué no vale la pena evaluar?

He encontrado una solución sobre el segundo,pero me pregunto que va a trabajar para la primera

Nota $$ S=\int_{0}^{1}{\sin{\pi x}x^{x}(1-x)^{1-x}dx}-\int_{0}^{1}{(1-x)e^{(i\pi+\ln{x}-\ln{(1-x)})x}dx} $$ Vamos $t=\ln{x}-\ln{(1-x)}$,$x=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}$ Así \begin{align} S&=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{e^{t}+1}e^{(i\pi+t)\frac{e^{t}}{1+e^t}}\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}dt}\\ &=\int_{-\infty+i\pi}^{-\infty-i\pi}{e^{\frac{te^{t}}{e^{t}-1} } \frac{e^{t}}{(e^{t}-1)^{3}}dt} \end{align} Debido a $$ f(z)=e^{\frac{te^{t}}{e^{t}-1} } \frac{e^{t}}{(e^{t}-1)^{3}},\qquad D=\{Z\in C|-\pi\leq Im(z) \leq \pi\}$$ Por lo tanto $res(f,0)=-\frac{e}{24}$al $z=0$ con $ \zeta_{R}=\gamma_{R}+o_{R}+\tau_{R}$ $$\oint_{\zeta_{R}}{f(z)dz}=-2\pi i\cdot res(f,0)=\frac{2i\pi e}{24}$$ porque $$ \{z_{n}\}\subset D,\qquad |z_{n}|\rightarrow\infty $$ Por lo tanto $$ 2S=2\lim_{R\rightarrow \infty}\int_{\gamma_{R}}{f(z)dz} $$ da $$ \int_{0}^{1}{\sin{\pi x}x^{x}(1-x)^{1-x}dx}=Im(S)=\frac{e\pi}{24} $$

Mi amigo tian_275461 me dijo que el uso de un simliar método para lidiar con el primero para obtener el resultado $\frac{\pi}{e}$,pero no estoy de averiguar.

Answer 1

Exactamente el mismo método funciona para el otro caso. $$ \ int_0 ^ 1 x ^ {- x} (1-x) ^ {x-1} \ sin {\ pi x} dx = \ mathrm {Im} \ left [\ int_0 ^ 1 \ frac {e ^ { (i \ pi + \ ln (1-x) - \ ln x) x}} {1-x} dx \ right] $$ Escribe$t=\ln((1-x)/x)$ y$z=t+i\pi$ como hiciste arriba para obtener $$ S = \ int_0 ^ 1 \ frac {e ^ {(i \ pi + \ ln (1-x) - \ ln x) x}} {1-x} dx = \ int _ {- \ infty + i \ pi} ^ {\ infty + i \ pi} \ frac {e ^ {\ frac {z} {1-e ^ z}}} {1-e ^ z} dz $$

Luego, con$$f(z)=\frac{e^{\frac{z}{1-e^z}}}{1-e^z}$ $, el único polo está en$z=0$,$res(f,0)=-\frac{1}{e}$ y en el límite$2S = \oint f(z)dz=-2\pi i \cdot res(f,0) = 2\pi i/e$ y tu respuesta será la siguiente.