Comprobando la desigualdad de Schwarz para números complejos usando Inducción

Question

Yo quiero probar la siguiente versión de la Schwarz Desigualdad para los números complejos $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$$b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb{C}$: $$|\sum_{j=1}^n a_j \overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2$$

Rudin tiene una buena prueba en la que muestra que $$ \sum (|(\sum |b_j|^2)a_j - (\sum a_j \overline{b_j})b_j|^2) = (\sum |b_j|^2)(\sum |a_j|^2 \sum |b_j|^2 - |\sum a_j \overline{b_j}|^2) $$ Puesto que el lado izquierdo es $\geq 0$, por lo que es el lado derecho. Si $b_1 = b_2 = \ldots = b_n = 0$, el de Schwarz desigualdad es trivial; de lo contrario, tenemos $\sum |b_j|^2 > 0$, por lo que el $(\sum |a_j|^2 \sum |b_j|^2 - |\sum a_j \overline{b_j}|^2) \geq 0$.

Sin embargo, no me parece que esta prueba es muy intuitivo (¿cómo diablos hizo venir para arriba con ella?!), y me gustaría probar por inducción: supongamos Schwarz tiene por $n-1$, a continuación, mostrar que es verdadera para $n$. Es posible hacerlo de esta manera?

He aquí lo que tengo hasta ahora: Deje $C = |\sum_{j=1}^{n-1} a_j \overline{b_j}|$. Entonces $$ |\sum_{j=1}^n a_j \overline{b_j}|^2 = |C + a_n \overline{b_n}|^2 = |C|^2 + 2|C||a_n \overline{b_n}| + |a_n \overline{b_n}|^2$$ Utilizando la hipótesis inductiva y algunas propiedades básicas de los complejos de la norma, hemos $$ |\sum_{j=1}^n a_j \overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2 \sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2 + 2|C||a_n||b_n| + |a_n|^2 |b_n|^2$$ Se podría utilizar la desigualdad de triángulo para separar ese $|C|$ en el medio, pero no creo que ayuda a...

Answer 1

Bueno, ya que nadie dio una respuesta completa aún-y porque me escribió uno de todos modos, aquí está la prueba por inducción, de manera que esperamos sea fácil para los estudiantes (sin la prueba de la experiencia) para entender. El crédito va para el Wu y Wu papel publicado por @Jeff.

Ambos lados de la Schwarz desigualdad son números reales $\geq 0$. Si $\sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2 = 0$, entonces debe ser que $a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0$ y/o $b_1 = b_2 = \ldots = b_n = 0$, por lo que claramente $|\sum_{j=1}^n a_j \overline{b_j}|^2$ $= 0$ y hemos terminado. Ahora sólo tenemos que probar el caso en que ambos lados de la desigualdad son positivos.

El Caso Base. Para $n = 1$, tenemos $$|\sum_{j=1}^1 a_j \overline{b_j}|^2 = |a_j \overline{b_j}|^2 = |a_j|^2 |b_j|^2 = \sum_{j=1}^1 |a_j|^2 \sum_{j=1}^1 |b_j|^2.$$

Inductivo Paso. La hipótesis inductiva es $|\sum_{j=1}^{n-1} a_j \overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2 \sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2$. Ya que sólo necesita preocuparse sobre el caso en el que ambas partes son positivas, por lo que puede tomar la raíz cuadrada para obtener $$|\sum_{j=1}^{n-1} a_j \overline{b_j}| \leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2 \sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2}.$$

Por lo tanto $|\sum_{j=1}^n a_j \overline{b_j}|$

$= |\sum_{j=1}^{n-1} a_j \overline{b_j} + a_n \overline{b_n}|$

$\leq |\sum_{j=1}^{n-1} a_j \overline{b_j}| + |a_n \overline{b_n}|$ (por la desigualdad de triángulo)

$\leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2 \sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2} + |a_n \overline{b_n}|$ (por la hipótesis inductiva)

$= \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2} \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2} + |a_n| |b_n|.$

Aquí estamos un poco estancados. Queremos ser capaz de plaza de $|a_n|$ $|b_n|$ e incorporarlas a sus respectivos plaza de raíces sumas. Así que si nos etiqueta $a = \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2}$, $b = \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2}$, $c = |a_n|$, y $d = |b_n|$, queremos ser capaces de decir $ab + cd \leq \sqrt{a^2 + c^2} \sqrt{b^2 + d^2}$. De hecho, podemos decir! Esta desigualdad es siempre cierto para cualquier $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, debido a que

$0 \leq (ad - bc)^2 = a^2 d^2 - 2abcd + b^2 c^2$

$\Rightarrow 2abcd \leq a^2 d^2 + b^2 c^2$

$\Rightarrow a^2 b^2 + 2abcd + c^2 d^2 \leq a^2 b^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + c^2 d^2$

$\Rightarrow (ab + cd)^2 \leq (a^2 + c^2)(b^2 + d^2),$

y puesto que ambos lados son positivos reales, podemos tomar la raíz cuadrada.

Ahora usamos esta desigualdad para obtener

$|\sum_{j=1}^n a_j \overline{b_j}| \leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2} \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2} + |a_n| |b_n|$

$\leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |a_j|^2 + |a_n|^2} \sqrt{\sum_{j=1}^{n-1} |b_j|^2 + |b_n|^2}$

$= \sqrt{\sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2},$

y justo cuadrado ambos lados para completar el paso inductivo.