Estoy aprendiendo la forma diferencial de la Ley Gauss derivada del teorema de la divergencia. $${\rm div}~ \vec{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}.$ $ Hasta ahora, en mi estudio de matemáticas y física, la palabra "diferencial" se ha asociado con un cambio infinitesimal en un valor (p. Ej., Dv, dr ... etc.). Realmente no entiendo cuál es la interpretación física. de la Ley Gauss en forma diferencial es. En general, ¿cuál es el propósito de poner una ecuación en forma diferencial?
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Nathan Feger
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Este es un buen ejemplo de un procedimiento que sucede en muchas áreas de la física. En general, las leyes de la física - y en particular la ley de la conservación - tienden a ser más natural que sea su enunciado en forma integral, o incluso en la mezcla de integro-diferencial de la forma. Para un ejemplo de esto último, considerar la forma integral de la ley de Faraday: $$ \oint_{\parcial S}\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{s}=-\frac{\text d}{\text dt}\int_S\mathbf{B}\cdot\text d\mathbf{A}. $$
En general, estas leyes de la física son fáciles de formular directamente tratan con finito de cantidades y sus tasas de cambio, mientras que el diferencial de leyes implican conceptos que son difíciles de visualizar. Por lo tanto, la forma integral de la ecuación de continuidad, $$ \frac{\text d}{\text dt}\int_\Omega\rho\,\text dV =-\int_{\partial\Omega}\mathbf{j}\cdot\text d\mathbf{A}, $$ dice que la masa total de líquido dentro de algunos finito volumen $\Omega$ aumenta al mismo ritmo que los flujos de fluidos, y la izquierda - y los lados derechos de las ecuaciones son precisamente esas cantidades. Por otro lado, el diferencial de la forma de la ley, $$ \frac\partial{\partial t}\rho=-\nabla\cdot\mathbf{j}, $$ implica más bien de conceptos abstractos. La densidad del fluido está bien, pero si eres realmente honesto, a continuación, cualquier intento razonable de proporcionar una imagen intuitiva de la divergencia $\nabla\cdot\mathbf{j}$ va a ser más como el flujo de volúmenes finitos, en el límite, cuando los volúmenes de ir a cero.
El problema con la integral de las leyes de la física, por otro lado, es que son muy difíciles de resolver. Supongamos, por ejemplo, que tiene una determinada densidad de carga $\rho$ y la densidad de corriente de $\mathbf{J}$, lo que posiblemente cambiar con el tiempo, y quiere averiguar los campos eléctricos y magnéticos que producen bajo condiciones de contorno adecuadas. Matemáticamente, el conjunto integral de las ecuaciones de Maxwell, $$ \left\{\begin{align} \int_{\partial\Omega}\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{A}&=\frac{1}{\epsilon_0}\int_\Omega\rho\,\text dV & \int_{\partial\Omega}\mathbf{B}\cdot\text d\mathbf{A}&=0 \\ \oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot\text d\mathbf{s}-\mu_0\epsilon_0\frac{\text d}{\text dt}\int_S\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{A}&=\mu_0\int_S\mathbf{J}\cdot\text d\mathbf{A} &\!\!\!\!\!\! \oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{s}+\frac{\text d}{\text dt}\int_S\mathbf{B}\cdot\text d\mathbf{A}&=0 \end{align}\right. $$ (para todos los posibles volúmenes de $\Omega$ y las superficies de $S$ dentro de su dominio) son un bien determinado sistema con una solución única. Sin embargo, es tremendamente difícil de resolver directamente, y nadie en serio los intentos (y definitivamente no en frente de los estudiantes). La razón fundamental de esta dureza es el hecho de que los campos eléctrico y magnético en cualquier punto de $\mathbf{r}$ siempre aparecen en las ecuaciones que implican toda una serie de otros puntos que pueden ser, y generalmente están bastante lejos.
Para resolver este problema matemático, entonces, la práctica habitual es la de transformar las ecuaciones en su forma diferencial, la cual se hace tomando el límite de infinitesimalmente pequeños volúmenes y superficies. Si usted hace eso, usted consigue el diferencial de las ecuaciones de Maxwell, $$ \left\{\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{E}&=\frac1{\epsilon_0}\rho &\quad \nabla\cdot\mathbf{B}&=0 \\ \nabla\times\mathbf{B}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}&=\mu_0\mathbf{J} &\quad \nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}&=0. \end{align}\right. $$ Estos son para ser tomadas en cada punto, en lugar de sobre no locales volúmenes y superficies, y se conectan los valores de los campos en cada punto a las fuentes y, a través de la distribución espacial de los derivados, a los valores de los campos en los puntos, pero no más allá.
Esto es mucho más fácil problema, porque impone un local de la restricción de los campos y es más fácil de resolver para el comportamiento funcional de los campos específicos en las regiones localizadas. Una vez que tienes eso, puedes empezar a "encolado" juntos diferentes lejanas regiones, fundamentalmente a través de la imposición de las condiciones de contorno adecuadas. Pero el paso decisivo - búsqueda de las posibles formas funcionales de los campos que están permitidos por las ecuaciones - es más fácil de hacer localmente, porque ya no hay una infinidad de posibles diferentes volúmenes y superficies de integración a tener en cuenta.
Por otro lado, las formas diferenciales de las leyes de la física son una mala herramienta, y hay ciertas situaciones, como punto de cargos o corriente de línea, salto de discontinuidades y similares, tratan bastante mal. Para lidiar con esas situaciones, básicamente usted tiene que ir en un círculo completo, ronda a la integral de las formas de las leyes. Existe una grande y establecida formalismo para lidiar con las ecuaciones diferenciales en esos casos, y que implica funciones de Green que son en realidad las distribuciones en lugar de funciones, pero esencialmente se reduce al concepto de una débil solución de una ecuación diferencial. (Ver también esta pregunta.) Wikipedia describe el concepto muy bien:
una solución débil (también llamado una solución generalizada) ordinaria o parcial de la ecuación diferencial es una función para la que los derivados pueden no existen pero que no obstante se consideran suficientes para satisfacer la ecuación en algunos define con precisión el sentido
y este "precisamente definido sentido" resulta ser exactamente que la correspondiente ley integral de estar satisfechos.
Mel
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Para cada problema, puede ser más útil usar la forma integral o diferencial de la ecuación. Los dos conjuntos son equivalentes, por supuesto, pero a menudo uno será mejor que el otro.
Para el caso de la ley de Gauss. La forma diferencial te dice que el número de líneas de campo que dejan un punto es que el espacio es proporcional a la densidad de carga en ese punto. Si tiene una expresión para el campo eléctrico, puede usar la forma diferencial para encontrar la densidad de carga.
LantisGaius
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Este punto (¿por qué diferencial) no iniciar o detener en la ley de Gauss.
¿Por qué debemos escribir la segunda ley de Newton en forma diferenciada?
La respuesta es (y que es lo que Newton considera como su mejor descubrimiento) que muchas de las leyes de la naturaleza se ven mejor (simple) si se escriben como las relaciones entre los diferenciales. No todos, pero muchos.
En este caso particular de Gauss la ley te dice a qué tipo de campo del VECTOR del campo eléctrico. Por poner un especial restringir. No todos los campos vectoriales tienen esta propiedad. Ingenuamente hablando (que siempre es bueno) este diferencial de la fórmula indica que el campo eléctrico es un "radial" de campo con una colección de POINTLIKE fuentes. Se dice que las fuentes del campo puede ser infinitesimal puntos. Campo comienza en la fuente o en los extremos. Como el agua, viene o se hunde.
Contrario - En el magnetismo de los puntos NO pueden ser fuentes, y sólo las líneas puede ser una de las fuentes del campo magnético, es por eso que el campo magnético depende de la CORRIENTE que es una LÍNEA/curva (si usted piensa que geométricamente/topológicamente) en el espacio. Por lo tanto el campo magnético es una especie totalmente diferente de campos vectoriales.
Ps: Vector de campo - una infinita colección de vectores de asignar a cada punto en el espacio, como la velocidad de cada molécula de agua en corriente de agua.
