Aquí es otro enfoque donde vamos primero a hacer uso de una función auxiliar.
Antes de continuar recordemos las definiciones de la función de error $\text{erf}(x)$ y la función complementaria de error$\text{erfc}(x)$:
$$\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int^x_0 e^{-t^2} \, dt$$
y
$$\text{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int^\infty_x e^{-t^2} \, dt,$$
respectivamente, tales que
$$\text{erf}(x) = 1 - \text{erfc}(x).$$
La idea aquí es considerar una función auxiliar, relativa a la nuestra
la función de interés $f(a)$, pero el que gira nuestro ser una constante
función para todas las $a$ en su dominio.
Empezar por considerar la siguiente función auxiliar
\begin{equation}
I(a) = \left (\int^a_0 e^{-t^2} \, dt \right )^2 + \int^1_0
\frac{e^{-a^2 (t^2 + 1)}}{1 + t^2} \, dt, \,\, a > 0.
\tag1
\end{equation}
Nota el término que aparece entre corchetes es nada más que la función de error. En la diferenciación de los auxiliares de la función con respecto a $a$ obtenemos
$$I'(a) = 2 e^{-a^2} \int^a_0 e^{-t^2} \, dt - 2a e^{-a^2} \int^1_0
e^{-a^2 t^2} \, dt.$$
En la obtención de este resultado, Leibniz regla para diferenciar en virtud de la
el signo integral ha sido utilizado. En la segunda integral, si una sustitución
de $u = at$, el resultado de la $I'(a) = 0$ rápidamente sigue mostrando
el auxiliar de la función es, de hecho, constante para todos los $a > 0$. Para encontrar el valor de esta constante, dejando $a \to 0^+$ da
$$I(a) \to \int^1_0 \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{4},$$
de modo que $I(a) = \pi/4$ todos los $a > 0$.
Como la primera de las integrales que aparecen en (1) puede escribirse en términos de la función de error que hemos
\begin{equation}
\int^1_0 \frac{e^{-a^2 (t^2 + 1)}}{1 + t^2} \, dt = \frac{\pi}{4}
\left (1 - \text{erf}^2 (a) \right ).
\tag2
\end{equation}
Algo similar se puede hacer para que la función complementaria de error. En este caso vamos a comenzar considerando la siguiente función auxiliar
\begin{equation}
J(a) = \left (\int^\infty_a e^{-t^2} \, dt \right )^2 -
\int^\infty_1 \frac{e^{-a^2 (t^2 + 1)}}{1 + t^2} \, dt, \,\, a > 0.
\tag3
\end{equation}
Vuelve a observar el término que aparece entre corchetes en nada más que la función complementaria de error. Sobre la diferenciación con respecto a $a$ hemos
$$J'(a) = -2 e^{-a^2} \int^\infty_a e^{-t^2} \, dt + 2a e^{-a^2}
\int^\infty_1 e^{-a^2 t^2} \, dt.$$
Una sustitución de la $u = at$ en la segunda integral, una vez más, se reduce
la derivada de la función auxiliar a cero, mostrando el $J(a)$ es constante. Dejando $a \to \infty$ (3) vemos
$J(a) \to 0$. Por lo tanto $J(a) = 0$ todos los $a > 0$. La escritura de la
la primera de las integrales en (3) en términos de la
la función complementaria de error, uno encuentra
\begin{equation}
\int^\infty_1 \frac{e^{-a^2 (1 + t^2)}}{1 + t^2} \, dt =
\frac{\pi}{4} \text{erfc}^2 (a).
\tag4
\end{equation}
La suma de (2) a (4) los rendimientos
\begin{align*}
\int^\infty_0 \frac{e^{-a^2(1 + t^2)}}{1 + t^2} \, dt &= \frac{\pi}{4} \left [\text{erfc}^2 (a) + 1 - \text{erf}^2 (a) \right ]\\
&= \frac{\pi}{4} \left [\text{erfc}^2 (a) + 1 - (1 - \text{erfc}(a))^2 \right ]\\
&= \frac{\pi}{2} \text{erfc} (a).
\end{align*}
Reorganización de da
$$e^{-a^2} \int^\infty_0 \frac{e^{-a^2 t^2}}{1 + t^2} \, dt = \frac{\pi}{2} \text{erfc}(a),$$
o
$$\int^\infty_0 \frac{e^{-a^2 t^2}}{1 + t^2} \, dt = \frac{\pi}{2} e^{a^2} \text{erfc}(a).$$
Así, por $f(a)$ finalmente tenemos
$$f(a) = 2 \int^\infty_0 \frac{e^{-a^2 t^2}}{1 + t^2} \, dt = \pi e^{a^2} \text{erfc}(a), \quad a > 0.$$
