demostrar que $a^{25}-a$ es divisible por 30

Question

Estoy tratando de probar que $30|a^{25}-a$.

En primer lugar dije que equivale al $a(a^3-1)(a^3+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$, por lo que debe ser divisible por 2.

Ahora quiero mostrar puede ser dividido por $3,6$ usando Fermat de poco Teorema de.

Necesito un poco de sentido ya que estoy algo perdido.

Answer 1

Necesita Divisibilidad por $2,3,5$.

$a$ $a^3-1$ son de diferente paridad, por lo que uno de ellos es impar, uno es incluso. El producto del Thie es incluso.

$a^3\equiv a\pmod{3}$, así que uno de los números $a^3-1$, $a$, $a^3+1$ es siempre divisible por $3$.

Ahora, $5$.

• El caso $5|a$ es trivial.

• $a\equiv 1\pmod{5}\implies a^3\equiv 1\pmod{5}\implies 5|a^3-1$

• $a\equiv 2\pmod{5}\implies a^6+1\equiv 65\equiv 0\pmod{5}\implies 5|a^6+1$

• $a\equiv 3\pmod{5}\implies a^6\equiv 9^3\equiv (-1)^3\equiv -1\pmod{5}\implies 5|a^6+1$

• $a\equiv 4\pmod{5}\implies a\equiv -1\pmod{5}\implies a^3\equiv -1\pmod{5}\implies 5|a^3+1$

Answer 2

Sugerencia. Por el pequeño Teorema de Fermat, para cualquier % primer $p$, $a^{p}-a$ es divisible por $p$. Además, el polinomio $P(a)=a^{25}-a$ es divisible por $(a^r-a)$ $r=2,3,5$.

Answer 3

#% Divide a $(a^n-a)$$a^{25}-a$% #%. Para el pequeño Teorema de Fermat sabemos que $n=2,3,5,7,13$ divide $p$ % primos $a^p-a$, por lo que es divisible por ningún entero $p$ $a^{25}-a$ $2730$

Espero que esto ayude

Answer 4

Ya que nadie ha mencionado teorema de Euler aquí hay otra respuesta.

Si $\gcd(a,30)=1$$a^{\varphi(30)} \equiv 1 \pmod{30}$$\varphi(30)=8$. O $30 \mid a^8-1$$a^{25}-a=a(a^{24}-1)=a(a^8-1)(a^{16}+a^8+1)$. Por lo tanto $30 \mid a\cdot(a^{24}-1)$

Si $\gcd(a,30)=d \in \{2,3,5,6,10,15,30\}$

• $d=30$ $30 \mid a \Rightarrow 30 \mid a\cdot (a^{24}-1)$
• en todos los demás casos $30=d\cdot d_1$, $d \mid a$ y $\gcd(d_1,a)=1$ $$a^{\varphi(d_1)} \equiv 1 \pmod{d_1} \tag{1}$$ or $30=d\cdot d_1 \mediados de los a\cdot (a^{\varphi(d_1)}-1)$. But $d_1 \en \{2,3,5,6,10,15\}$ as well and $\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(5)=4, \varphi(6)=2, \varphi(10)=4, \varphi(15)=8$ all are factors of $24$. Or $24=\varphi(d_1)\cdot p$ and from $(1)$ $$a^{24}\equiv a^{\varphi(d_1)\cdot q} \equiv 1^{q} \equiv 1 \pmod{d_1}$$ Thus $30=d\cdot d_1 \mediados de los a\cdot (a^{24}-1)$.

Answer 5

Quizás sea una prueba directa de expresar el Teorema chino del resto como un isomorfismo de anillos $\mathbf Z/30 \cong \mathbf Z/2 \times \mathbf Z/3 \times \mathbf Z/5$. Escriba $[a_{30}]=([a_2], [a_3], [a_5])$ (notación obvia) y FLT se aplican a los 3 factores, utilizando así $25 = 1+2^3.3 = 1+ 3.2^3 = 5^2$, que $[a_2]^{25}=[a_2].([a_2]^8)^3=[a_2].[a_2]^3=[a_2]$ y $[a_3]^{25}=[a_3].([a_3]^3)^8=[a_3]^9=[a_3]$ y $[a_5]^{25}=([a_5]^5)^5=[a_5]$.