Voy a dar una conferencia de 50 minutos sobre Diagonalización de la matriz para los estudiantes universitarios de primer año y me gustaría dar algunas aplicaciones de ella. He estado pensando diciendo el cálculo de la matriz exponencial que se convierten más en una matriz diagonal, pero este tema es un nivel más alto para ellos y tengo solamente 10-15 minutos a hablar de ello.
Así que ¿qué crees que puedo decir motivarlos a estudiar la Diagonalización de la matriz?
Una aplicación que creo que es bastante interesante y es básica para calcular la forma cerrada de una relación de recurrencia.
Supongamos que queremos encontrar una forma cerrada (Binet la fórmula) de la secuencia de Fibonacci $(F_i)_{i \in \mathbb{N}}$. Para esto se puede ver en la ecuación $$ A \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n + F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_{n+2} \end{pmatrix}, \; A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. $$ La aplicación de este para $F_0 = 1$ $F_1 = 1$ repetidamente tenemos $$ \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; n \in \mathbb{N}. $$ Podemos diagonalize $A=T^{-1}DT$ con una matriz diagonal $D$ y obtener $$ A^n = (T^{-1}DT)^n = e^{-1}TDT^{-1} DT \dots T^{-1}DT = T^{-1} D^n T. $$ Con simples cálculos obtenemos $D^n, T$$T^{-1}$, de modo que fácilmente consigue $A^n$ $A^n \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ da la fórmula de Binet.
Espero que esta es una aplicación interesante.
Saludos!
Cuando se abordan las personas que no tienen los matemáticos necesarios requisitos previos para entender los detalles técnicos, es imperativo que busque el punto de contacto entre su vida cotidiana y el tema en cuestión. Cuando se tiene éxito, entonces se hace imposible para ellos para cuestionar la pertinencia de su charla.
Me gustaría abrir con la famosa película de el puente de Tacoma que sufren de viento oscilaciones inducidas por el extremo por el que con violencia estructural se derrumbó. Me gustaría mencionar que el problema podría haber sido previsto y evitado mediante el cálculo de los autovalores de la matriz de rigidez.
Me gustaría mencionar el análisis de la señal y la digitalización de las imágenes y el sonido, un tema en el que el análisis de Fourier es central.
Si el tiempo lo permite me gustaría mencionar la investigación de las propiedades fundamentales de la materia, es decir, la mecánica cuántica, el estudio de lo que depende de nuestra comprensión de unbounded lineal de operadores, es decir, una extensión de su tema.
En lugar de los detalles técnicos, explicar que estos temas no pueden ser accedidos, entendido y avanzado aún más, si éstas no poseen las habilidades matemáticas que se les puede enseñar.
Cuando la motivación de la diagonalización de matrices, me gustaría hacer hincapié en los siguientes puntos con el fin de construir una característica intrínseca de la narrativa de por qué estamos haciendo una cosa:
Una matriz de $A$ es no una transformación lineal---es la representación de una transformación lineal $T$ con respecto a una determinada base $\mathcal{B}$. Simbólicamente, $A = \mathcal{Mat}(T, \mathcal{B})$.
Dada una base diferente a $\mathcal{B}'$, podemos obtener una matriz que representa esta transformación lineal, la cual está relacionada por una matriz de cambio de base: $A = P^{-1} B P$ donde$B = \mathcal{Mat}(T, \mathcal{B}')$$P = \mathcal{Mat}(Id, \mathcal{B}', \mathcal{B}) $. Para un no-espacio vectorial trivial, hay muchas posibles bases que podíamos elegir y muchas posibles matriz de representaciones de una transformación lineal. Para un estudiante de primer año en ingeniería/física/..., conectar esto con la idea de la elección de los diferentes sistemas de coordenadas cuando se estudia un problema físico. No hay "correcto" sistema de coordenadas a utilizar, sólo que son más convenientes.
Una pregunta natural que surge es: ¿cuál es la mejor base que podemos elegir para el estudio de la transformación lineal $T$, es decir, en el que la base es la representación de la matriz de $T$ más simple? Pida a los alumnos que las matrices son más fáciles de multiplicar/invertir/se aplican a vectores/etc. Invariablemente, esto será diagonal de las matrices. En particular, es más fácil ver cómo un vector será transformado bajo el efecto de una matriz diagonal.
Por lo tanto nuestro objetivo es encontrar una base de $\mathcal{B}'$ de manera tal que la representación de la matriz de $T$ diagonal: $D = \mathcal{Mat}(T, \mathcal{B}')$. De nuevo, esto corresponde a encontrar el "mejor" sistema de coordenadas con el que el estudio de un problema.
La combinación de los puntos (4) y (2), llegamos a $$A = P^{-1} D P.$$
Después de introducir el vector propio de la ecuación de $A \vec{v} = \lambda \vec{v}$ $\det(A- \lambda I) =0$ y trabajar un par de ejemplos, asegúrese de tener en cuenta que no todas las matrices son diagonalizeable!
Un video de youtube por 3blue1brown da una buena representación gráfica de diagonalización (y toda su "Esencia de Álgebra Lineal", la serie hace un excelente recomendada para estudiantes).
Si usted prefiere trabajar con los específicos de la motivación ejemplos (como opuesto a mostrar cómo diagonalización de matrices es natural instrinsic pregunta), teniendo en cuenta la búsqueda de la solución de estado estable(s) de un proceso de Markov. En particular, Google clásica del algoritmo PageRank es un $700B aplicación de encontrar una solución de estado estable.
Cuando diagonalizing una matriz, simplemente elegimos un sistema de coordenadas en el cual los endomorfismos lineales correspondientes parece fácil; Seleccionamos el eigenbasis.
Esto es útil en la física, un ejemplo básico es el momento de inercia de un objeto masivo. Para un observador, en sus coordenadas el movimiento de los objetos puede ser difícil de comprender y describir, pero en el sistema de coordenadas "del objeto" el movimiento es fácil de describir.
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