Ayudar a demostrar que un polinomio tiene raíces números y que ' re diferentes

Question

Dada la naturaleza del ejercicio, creo que el punto no está utilizando el teorema Fundamental del álgebra para mostrar debe ser $n$ raíces. De todos modos, el polinomio es el siguiente: $$x^n + x + 1$ $

Hasta ahora he intentado llegar a un absurdo proponiendo una raíz que es raíz del polinomio y su derivada, pero estoy atrapado allí. ¿Cualquier insinuación de este tipo de ejercicio?

Answer 1

Podemos asumir con seguridad $n\geq 2$. Si $f(x)=x^n+x+1$ tenemos %#% $ $f'(x)=n x^{n-1}+1$% y % en la otra mano $$ \gcd(f(x),f'(x)) = \gcd(f'(x), n f(x)-x f'(x))=\gcd(nx^{n-1}+1,(n-1)x+n). $ sólo se desvanece a $(n-1)x+n$, $x=\frac{n}{1-n}$ $ es positivo para cualquier extraño $$ n\left(\frac{n}{1-n}\right)^{n-1}+1 $ y estrictamente negativa para cualquier % hasta $n$, desde $n$.
Sigue que $n^n>(n-1)^{n-1}$ y $f(x)$ no puede tener raíces comunes, por lo tanto, todas las raíces de $f'(x)$ simple.