¿Es mi profesor ' explicación de s de suma directa exacta?

Question

Esto viene de un posgrado a nivel de álgebra abstracta de la clase, a modo de referencia. Mi profesor dice que dados dos grupos de $G,H$ nos dice $D$ es la suma directa de $G$ $H$ y escribir $C = G \oplus H$ si $G$ $H$ son disjuntas, excepto para el cero y el $C = G+H = \{g+h | g \in G, h \in H\}$.

Mi problema es que esta no es realmente una definición, ya que para grupos arbitrarios $G$ $H$ que no son necesariamente disjuntos, esto no está definido. Por ejemplo, tengo una pregunta con asignación de demostrar que la suma directa de dos módulos con una cierta propiedad todavía tiene esa propiedad, pero no veo cómo la suma directa se define arbitrarias de los módulos. Por ejemplo, ¿qué sería de $\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z_2}$?

Answer 1

Para módulos arbitrarios $M, N$ sobre un anillo $A$, hay una suma directa externa módulo $M\boxplus N = \{(m, n):\, m\in M, n\in N\}$ funcionamiento $(m, n) + (m', n') = (m + m, n + n')$y $A$-acción $a(n, m) = (an, am)$. El módulo resultante tiene $M\boxplus N = M\oplus N$ en su notación, incrustar $M$ y $N$ $M\boxplus N$ en la manera obvia. Además, si ha definido por $P = M\oplus N$% #%, entonces el mapa $P \to M\boxplus N$ #% es un isomorfismo bien definido (inyectabilidad tras del hecho $m + n \to (m, n)$). Como tal, no distinguen los dos tipos de suma directa generalmente en nomenclatura o notación.