Si $f(x)$ $2f (x) = f(xy) + f(x/y)$ la cumple, encontrar $f(x)$

Question

Si $f(x)$ es una función continua y diferenciable que satisface la ecuación de la función si $2f (x) = f(xy) + f(\frac xy)$ $\forall x,y \in R^{+}$ y $f'(1)=1$ entonces encuentran $f(x)$

Puedo ver que $f(x)=\ln(x)$ es una función que satisface todas las propiedades, pero ¿cómo puede demostrarse? Intenté usando el primer principio de la diferenciación pero no fue capaz de obtener la función. ¿Alguien podría ayudarme con esto?

Answer 1

Permite diferenciar su ecuación con respecto a los $y$

$$0=xf^{\prime}\left(xy\right)-\frac{x}{y^{2}}f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \tag{1}$$

Esto es permitido puesto que $f$ es diferenciable. Ahora coloque $x=y$ y use $f^{\prime}(1)=1$ que

$$0=xf^{\prime}\left(x^{2}\right)-\frac{1}{x} \tag{2}$$

o si definimos $u=x^{2}$

$$f^{\prime}(u)=\frac{1}{u} \tag{3}$$

Así $f\left(u\right)=\ln(u)+C$ $C\in\mathbb{R}$.

Editar 1: Después de la respuesta por @Bumblebee, podemos resolver esta ecuación en general, no especificando $C_{1}=f^{\prime}(1)$. En este caso, % EQ. $(3)$es en realidad

$$f^{\prime}(u)=\frac{C_{1}}{u} \tag{4}$$

con una solución

$$f(u)=C_{1}\ln(u)+C_{2} \tag{5}$$

Answer 2

Permite encontrar funciones continuas del #% los $f:\Bbb{R}^+\to\Bbb{R}$% #%

Cuando $f(xy)=2f(x)-f\left(\dfrac{x}y\right).$ tenemos $x=y,$ ahora asumir para cualquier $f(x^2)=2f(x)-f(1).$ $r\in\Bbb{N}\cup\{0\},$$$f(x^r)=r(f(x)-f(1))+f(1).$x\to x^r$ Now $y\to x $ and $f(x^{r+1}) = 2f(x^r)-f(x^{r-1}) .$ gives us $f(x^{-r}) =-f(x^r) +2f (1), $ Therefore we can proof this claim by strong induction. Using the fact that $r $ we can extend our result to negative integer $$ values as $$f(x^{-r})=-r(f(x)-f(1))+f(1)$x\to # x^{1/r}$ Moreover $$ gives us $$f(x^{1/r})=\dfrac1r(f(x)-f(1))+f(1).$r$ Hence the result establishes for rational (positive and negative) $r\in\Bbb{R}.$
Que $ values. Also due to the continuity, we have the result for any $ y $x\to e$ y $r\to\log_e{x},$$$f(x)=a\ln x+b\,\,\,\,\,\,\forall x\in\Bbb{R}^+$ a=f(e)-f(1)$ where $b=f(1)$ son algunas constantes.