¿La definición del palmo linear de un subconjunto de un espacio vectorial requiere que el ser contable?

Question

Mi libro da esta definición de palmo linear de un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $V$:

Ahora si $S$ es cualquier subconjunto de $V$, les dejamos $L(S)$ el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $S$. Así $$L(S) = \left\{\sum_{i=1}^k{\alpha_i v_i \mid k \in \mathbb{N}, v_i \in S, \alpha_i \in \mathbb{R}}\right\}.$ $

¿Pero cuando escribimos $k \in \mathbb{N}$, no lo que implica que $S$ es a lo más contable? Es decir, $S=\{v_i:i=1(1)k,k \in \mathbb{N}\}$. Pero $S$ puede ser un subconjunto incontable.

Answer 1

De hecho, $S$ puede ser un incontable subconjunto.

Sin embargo, la notación en ningún caso significa que usted considere finito de sumas (no contables sumas).

Independientemente de la cardinalidad de a $S$, la lineal intervalo es el conjunto de todos los elementos que se pueden escribir como una suma de finitely muchos términos de la forma$\lambda s$$\lambda \in \mathbb{R}$$s \in S$.

Usted puede utilizar cada elemento de a$S$, pero puede, por cualquier suma, sólo se combinan con un número finito de otros elementos de $S$.

Por ejemplo, si se considera el espacio vectorial de infinito real de secuencias de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $j \in \mathbb{N}$ establecer $e_j$ la secuencia que ha $j$-ésimo término de $1$ $0$ lo contrario. (Algo que se asemeja a la base canónica en $\mathbb{R}^n$.)

A continuación, el lapso de $\{e_j \colon j \in \mathbb{N}\}$ es no el total de espacio. En cambio, el intervalo es el subespacios de secuencias que tienen sólo un número finito de cero términos.

(No es un concepto que no permite el conteo, sumas, consulte la base de Schauder , pero esto es algo distinto de lo que usted está considerando.)

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Permítanme añadir que el uso de la notación $v_1$ es no un elemento fijo de $S$ es sólo una especie de maniquí-variable. El $v_1$ en una suma, no será el mismo como un $v_1$ en otra suma (que podría ser, es decir, $v_2$ o no aparece en absoluto).

Answer 2

La definición dice que $S$ es cualquier subconjunto de a $V$. Lo importante aquí es entender que el lapso de $S$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos en $S$.

La condición de $k\in\mathbb{N}$ significa que la suma (la combinación lineal) es finito.

El parámetro $k$ es el número de vectores (en $S$) se necesitan para formar la combinación lineal de los elementos de S.

Para tener un elemento de $L(S)$ tienes que:

1) Elija $k\in\mathbb{N}$

2) Elegir cualquier $k$ vectores en $S$

3) Forma de la combinación lineal de este vectores y esta será su elemento en $L(S)$. Esto es, que varia de los escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$$\mathbb{R}$.

Para tener todos los elementos en $L(S)$ puede variar el parámetro de $k$ y, a continuación, variar la elección de $k$ vectores en $S$ y, por supuesto, varían los escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$$\mathbb{R}$.

Answer 3

No, la restricción de $k\in\mathbb{N}$ requiere $S$ a ser contable.

Consideremos el ejemplo de $S$ una línea a través del origen, es decir, el conjunto de $\alpha v$ $v$ fijo como $\alpha$ gamas a través de $\mathbb{R}$. $S$ Es incontable, pero $L(S)$ es aún perfectamente bien definido y de hecho $L(S)=S$.