¿Cuál es el significado matemático de la "construcción"?

Question

Se dice que podemos construir un segmento de recta juntando (incontables) puntos. Y dicen que es porque $[0,1] = \{ x \in R \mid 0 \leq x \leq 1\}$ . Del mismo modo, podemos construir un segmento de plano juntando segmentos de línea porque $[0,1]\times[0,1] = \{(x,y) \in R^2 \mid x, y \in [0,1]\}$ .

Pero no estoy de acuerdo con eso, porque no podemos crear cosas nuevas con la "construcción de conjuntos usando predicados". Me refiero a la definición de $[0,1]\times[0,1]$ como en el caso anterior, utilizamos el conjunto predefinido $R^2$ lo que significa que en realidad no hemos construido una cosa nueva, sino que sólo hemos hecho un subconjunto. ¿Cuál es el significado de la construcción y qué hay de malo en mis afirmaciones?

Answer 1

Es una construcción porque $\mathbb R$ se ha construido antes.

Una construcción completa del intervalo real tendría este aspecto (nótese que sólo hago un esbozo de esta construcción):

Empezamos construyendo los números naturales uno a uno, simplemente recogiendo todos los números que ya hemos construido.

Inicialmente no hemos construido nada, por lo tanto el primer número que construimos, $0$ está dado por el conjunto vacío (el conjunto de la nada). Por lo tanto, tenemos

$0 = \emptyset$ .

En el siguiente paso, construimos el siguiente número, $1$ . El único número que hemos construido hasta ahora es $0$ , por lo que obtenemos

$1 = \{0\} = \{\emptyset\}$ .

Entonces construimos $2$ , de nuevo como el conjunto de números definidos hasta ahora. Así obtenemos

$2 = \{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ .

Ya ves cómo funciona esto. Observe que la teoría de conjuntos nos garantiza que todos esos conjuntos existen.

A continuación, reunimos todos esos números en un conjunto,

$\mathbb N = \{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Este es un paso no trivial; la teoría de conjuntos contiene, de hecho, un axioma separado sólo para decir que esto es realmente un conjunto.

También definimos la suma, la multiplicación y el orden en $\mathbb N$ , principalmente siguiendo los axiomas de Peano.

A continuación construimos los enteros como diferencias de números naturales; formalmente esto los define como clases de equivalencia de pares de números naturales con ciertas reglas de orden y operaciones. Los pares, a su vez, pueden definirse de nuevo a través de conjuntos, por ejemplo como

$(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$ .

Entonces definimos los números racionales como cocientes de los enteros (de nuevo, formalmente como clases de equivalencia de pares).

A continuación definimos los números reales $\mathbb R$ Hay varias construcciones posibles, pero vamos a suponer que las construimos como cortes Dedekind. Es decir, un número real es un subconjunto propio no vacío de los números racionales, cerrado hacia abajo, que no tiene ningún elemento máximo. Y de nuevo, tenemos que definir el orden y las operaciones.

Y ahora que tenemos $\mathbb R$ podemos definir el intervalo $[0,1]$ como

$[0,1] = \{x\in\mathbb R: 0\leq x\leq 1\}$ .

Obsérvese que si se siguen todas las construcciones utilizadas, al final se encuentra que el intervalo $[0,1]$ se construye a través de conjuntos que contienen otros conjuntos que a su vez contienen otros conjuntos, pero en última instancia siempre se acaba llegando al conjunto vacío. Así que realmente hemos construido el intervalo a partir de "nada" recogiendo recursivamente esta "nada" en conjuntos cada vez más complicados.

Y creo que ahora está claro por qué normalmente uno se detiene en algo que ya ha sido construido anteriormente, en lugar de escribir siempre la construcción completa desde cero. Si se desarrolla la construcción que he esbozado, completándola con pruebas de que cada uno de los pasos está realmente permitido, y que cada paso resulta realmente en algo que tiene la estructura que queremos (por ejemplo, que los números reales así construidos cumplen realmente los axiomas de un campo ordenado completo), creo que se podría llenar fácilmente un libro completo.

Answer 2

Una construcción es una secuencia explícita (posiblemente compleja) de pasos que se pueden seguir para definir un objeto a partir de objetos ya disponibles. La construcción puede incluir infinitos objetos. En tu ejemplo, tienes el conjunto de todos los números reales y lo utilizas para crear un nuevo objeto (el intervalo cerrado de $0$ a $1$ ). Del mismo modo, decimos que construimos los números naturales a partir de conjuntos, los números enteros a partir de los números naturales, los números racionales a partir de los enteros, los números reales a partir de los números racionales y los números complejos a partir de los números reales.

Una declaración de la forma "existe un objeto con la propiedad $P$ " no es constructivo. Sin embargo, a veces es posible convertir tales declaraciones no constructivas en construcciones mostrando una manera de construir explícitamente un objeto particular con la propiedad $P$ .