En lo que sigue, voy a utilizar la convención $$ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x \xi}dx,$$ so that $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)e^{2\pi i x \xi}d\xi.$$
Me gusta la interpretación de sumación de Poisson, que también da una generalización: Considerar el peine de Dirac distribución $C(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(x-n)$. Esta es una base de distribución, por lo que tiene una transformada de Fourier. De hecho, es su propia transformada de Fourier. Para justificar esto, voy a dar una muy nonrigorous argumento. Pero si la intuición es el objetivo principal, entonces creo que será de ayuda. En primer lugar, tenga en cuenta que $C(x)$ es periódica con periodo 1. Por lo tanto, su "transformada de Fourier" es en realidad una serie de Fourier: su apoyo es en $\mathbb{Z}$. De esta manera se sigue observando que
$$\begin{align}C(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\xi)e^{2\pi i x \xi}d\xi; \\
C(x) &= \sum_{n\in \mathbb{Z}}a_n e^{2\pi i n x};
\end{align}$$
Donde la primera línea es la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula y la segunda línea es la serie de Fourier para $C$. Se sigue por la singularidad que $\hat{C}(\xi) = \sum_{n\in \mathbb{Z}}a_n \delta(\xi - n)$. Por otro lado, el (inverso) la transformada de Fourier de $\hat{C}$ también es compatible con $\mathbb{Z}$, lo $\hat{C}$ también es periódica con período 1. Por lo tanto, todas las $a_n$ son los mismos:
$$\hat{C}(\xi) = a\sum_{n\in \mathbb{Z}}\delta(\xi - n),$$ where $una$ es algunos escalares. No es difícil ver que el escalar tiene que ser 1.
Para derivar de sumación de Poisson a partir de esto, usar el teorema de convolución: vamos a $f$ ser cualquier función. Por un lado, $$(f*C)(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} f(x+n).$$ On the other hand, we can use the convolution theorem: $$\widehat{(f*C)}(\xi) = \hat{f}(\xi)\hat{C}(\xi) = \hat{f}(\xi)\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(\xi-n) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)\delta(\xi-n).$$ The last sum gives the Fourier series of the periodic function $f*C$: $$(f*C)(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)e^{2\pi i n x}.$$ Plugging in $x=0$ gives the Poisson summation formula, QED. But the result for general $x$ is interesting as well: given a function $f$, you can obtain a periodic function $g(x)$ by (a) adding up $f(x+n)$ over all integers $n$, or (b) taking the Fourier transform of $f$ at integer frequencies and making that the Fourier series of $g$. El resultado es que (a) y (b) dar la misma función.
