¿Cuál es una buena manera de explicar por qué la gráfica de los polinomios no presenta ondulaciones, incluso en un intervalo arbitrariamente pequeño?

Question

Estaba mostrando a alguien el gráfico de $0.1x^9+0.6x^5+0.5x^2 + x$ en Wolframalpha (para esta pregunta, cualquier polinomio de valor real servirá)

Alguien me preguntó por qué las gráficas de los polinomios son suaves sin importar el intervalo en $\mathbb{R}$ miramos.

Más precisamente, la persona me preguntó por qué no hay ondas aleatorias como

o

a medida que recorremos la gráfica del polinomio.

O utilizando otro ejemplo, imagine $x^2$ ¿por qué no hay una perturbación tipo sinusoide para esta función en el rango $(10000000018.3, 10000000019.1)$ ? ¿Una pequeña sinusoide?

Mi respuesta fue básicamente que podemos comprobar la derivada y ver que siempre sube o baja. Sin embargo, no estoy totalmente satisfecho con esta respuesta.

Entonces, ¿cuál sería una buena manera de explicar a alguien por qué no hay oscilación aleatoria (u ondulaciones) en el intervalo (usando otro ejemplo, digamos) $(-398, -386)$ para el polinomio $x^{340} + 0.5x^{238} + 0.4x^{77} + 4$ ?

Answer 1

Si $f$ es un grado $n$ polinomio entonces $f'$ es un grado $n - 1$ polinomio, y tiene como máximo $n - 1$ raíces. Esto significa que puede haber como máximo $n - 1$ máximos y mínimos locales de la función $f$ . Asimismo, esto limita el número de cambios en la concavidad.

Esto limita mucho el comportamiento ondulante del que hablas.

Answer 2

_{<a href="http://nbviewer.jupyter.org/gist/leftaroundabout/ce97d6e4023d206be638415b89694ca1" rel="noreferrer">http://nbviewer.jupyter.org/gist/leftaroundabout/ce97d6e4023d206be638415b89694ca1</a>}

La premisa es errónea. Les presento a $$ 2.2{x}^{1}-81.7{x}^{3}+1576.6{x}^{5}-12865{x}^{7}+53760.4{x}^{9}-128928.6{x}^{11}+185521.7{x}^{13}-158630{x}^{15}+74398.9{x}^{17}-14754.5{x}^{19}$$ Como ves, se trata del mismo fenómeno de Gibbs que se produce con las funciones trigonométricas. Este fenómeno no tiene tanto que ver con las funciones de base precisas con las que se empieza, como con cómo se determinan los coeficientes . En concreto, una expansión de Fourier finita de una función incrusta la función en un Espacio de Hilbert es decir, un espacio vectorial de funciones en el que se tiene un producto escalar que nos dice aproximadamente la similitud de dos funciones . Cuando se elige alguna base ortonormal, se pueden leer simplemente los coeficientes de una función dada tomando el producto escalar con todas las funciones base.

Concretamente, la transformada de Fourier utiliza la $L^2$ con el producto escalar $$ \langle f,g\rangle_{L^2} = \int\limits_0^1\!\!\mathrm{d}x\:f(x)\cdot g(x) $$ Ese producto escalar parece en el panorama general por así decirlo, es decir, clasifica las funciones como similares si dan valores similares en una gran parte del intervalo $[0,1]$ . Lo hace no se preocupa mucho de las fluctuaciones en un punto concreto y, por tanto, no minimiza estas oscilaciones de Gibbs.

Esto no tiene nada que ver con la periodicidad de las funciones trigonométricas, y de hecho se pueden encontrar fácilmente otras funciones que den una base ortonormal en $L^2$ . En la imagen de arriba, he utilizado el Polinomios de Legendre que son ortogonales en $[-1,1]$ .

La razón por la que se ve el fenómeno de Gibbs más a menudo explicado con Fourier que con Legendre u otras funciones es que la base de Fourier está en algunos sentidos mejor condicionada. Los coeficientes del polinomio son bastante grandes, y eso es numéricamente un problema: todo se vuelve inestable. Concretamente, si se evalúa la aproximación anterior al diente de sierra sólo ligeramente fuera del intervalo $[-1,1]$ los valores divergen totalmente de la función de destino:

Answer 3

Parece que intentas explicar las cosas a un no-matemático, así que voy a simplificar un poco mi respuesta y dejar de explicar cosas como la derivada. Es importante entender lo que significan realmente estos objetos antes de intentar razonar sobre ellos.

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Esta es una cuestión más profunda de lo que parece. Es totalmente justo preguntarse por qué los polinomios no se parecen (por ejemplo) al Función de Weierstrass al acercarse a ellos.

La propiedad clave de la función de Weierstrass es que es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna. Es decir, está definida en todas partes y no contiene saltos bruscos, pero no se puede trazar una línea tangente a ningún punto de la gráfica, porque es demasiado irregular para que "tangente" sea un concepto significativo. La pendiente de esa línea tangente se llamaría derivado pero la función de Weierstrass no tiene derivada.

Los polinomios, por su parte, son un caso especial de una familia de funciones conocida como funciones analíticas . Las funciones analíticas son funciones que pueden escribirse en forma de serie de potencias, es decir, para algún valor $x_0$ y alguna secuencia $a_n$ tenemos:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x - x_0)^n $$

(La suma debe converger, y la suma debe converger específicamente a $f(x)$ . De lo contrario, no podemos decir que una sea igual a la otra. Además, sólo a efectos de esta suma, adoptamos la convención de que $0^0 = 1$ para que el término cero de esta serie no se vuelva indefinido en $x = x_0$ .)

Un polinomio es una función analítica en la que $a_n = 0$ para todos $n$ mayor que algún número $d$ que llamamos el grado del polinomio. También puede haber funciones analíticas para las que esto no sea cierto. Algunos ejemplos son las funciones seno, coseno y exponencial, que admiten expansiones en serie infinitas.

Resulta que cada término de esta suma es relativamente fácil de diferenciar (encontrar la derivada de), primero expandiendo y luego aplicando la regla de poder . Lo que hace especiales a las funciones analíticas es que al diferenciar una función analítica obtenemos otra función analítica. Como resultado, toda función analítica es infinitamente diferenciable; es decir, podemos seguir tomando derivadas tantas veces como queramos.

Pero entonces, cualquier bamboleo que pueda mostrar la función debe desaparecer eventualmente cuando nos acerquemos lo suficiente. De lo contrario, no sería posible trazar una línea tangente a ella, y por tanto carecería de derivada. Esto también nos permite descartar (infinitamente) muchos tipos diferentes de irregularidades a mayor escala, como los cambios repentinos de concavidad. Descartar estas irregularidades es, en última instancia, lo que permite la Serie Taylor fórmula para recuperar la serie de potencias de una función analítica utilizando sólo información sobre un único punto de la gráfica de la función. La gráfica es tan regular que un solo punto es todo lo que se necesita para extrapolar el conjunto.

Answer 4

¿Qué es realmente un polinomio? Es una función que mide el producto de las distancias de $x$ a cada uno de un conjunto fijo de puntos. Hay una convención para tomar la distancia como negativa o positiva, dependiendo de qué lado de cada punto $x$ está encendido, y podríamos multiplicar por alguna constante para hacer el producto uniformemente mayor o menor, pero eso es fijo para un polinomio dado.

Ahora bien, la distancia es algo que cambia suavemente como $x$ se mueve a lo largo de la línea numérica. A veces, $x$ pasa por uno de los puntos, por lo que la distancia-producto es igual a cero por un instante, pero eso es todo lo que realmente sucede.

Con $f(x)=(x-2)(x-8)$ por ejemplo, no hay mucha historia que contar. Empezamos con $x$ muy lejos de ambos $2$ y $8$ , entonces se acerca a $2$ pasa a través de él, y luego se acerca a $8$ y pasa a través de él, entonces se aleja de ambos de nuevo. Eso es lo que representa una parábola.

Si quieres un montón de pequeñas ondulaciones, necesitarías muchos puntos para que al pasar uno y luego otro y luego otro, la distancia-producto cambie de forma ondulada. Con pocos puntos, la historia no es tan interesante.

(No he abordado los polinomios con raíces complejas, pero la única diferencia real en este caso es que algunos de los puntos no están en la recta numérica, sino a los lados).