Ejemplo sencillo que utiliza el lema de Borel-Cantelli

Question

He leído el lema de Borel-Cantelli, pero no estoy muy familiarizado con la probabilidad. Me gustaría ver este lema con una ilustración de un ejemplo sencillo.

No estoy demasiado interesado en ver la demostración de este lema, pero para mi comprensión, me gustaría ver esto a través de ejemplos. Buscando en Internet aplicaciones del lema, no he encontrado ningún artículo en Amer. Math. Monthly, de la Gaceta de Matemáticas, u otro, sino sólo artículos de investigación, que son difíciles de leer para mí "ahora". Además, mientras estudiaba límite superior y límite inferior definida para secuencias de conjuntos, los ejemplos que se suelen utilizar provienen del lema de Borel-Cantelli. Estaré encantado si se explica este lema con un ejemplo sencillo.

Answer 1

Informalmente, el lema de Borel-Cantelli establece que si la suma de la probabilidad de la secuencia de eventos $\mathbb{E}_1,\cdots ,\mathbb{E}_n$ tienen una suma finita, entonces la probabilidad de que se produzcan infinitas es cero. Hay muchos ejemplos, pero aquí hay uno; dejemos que $\{ X_n \}$ sea una secuencia de variables aleatorias en el intervalo $(0,1)$ . Dejemos que $\mathbb{E}$ denotan la expectativa. Podemos demostrar que $X_n\to X$ casi seguramente siempre que \begin {equation*} \sum_n \mathbb {E}(|X_n-X|^r)< \infty \end {ecuación*} es válida para $r>0$ . Por una aplicación elemental de la desigualdad de Markov, tenemos \begin {equation*} \sum_n \mathbb {P}(|X_n-X|> \epsilon ) \leq \sum_n \frac { \mathbb {E}|X_n-X|^r}{ \epsilon ^r}< \infty ,~ \epsilon >0. \end {equation*} El resultado se desprende del lema de Borel-Cantelli.

Si quieres repasar tus probabilidades, intenta estudiar lo siguiente:

• Esquema de probabilidad y estadística de Schaum, por Murray Spiegel

• Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross