Solicitud de referencia de una identidad que implican Coeficientes binomiales

Question

La identidad es

$$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{\frac{s^k + s^{-k} - 10}{4}}{i}\binom{\frac{s^k + s^{-k} - 10}{4}+4}{\frac{gs^k + 2g^{-1}s^{-k} - 4}{8}-i}= 0$$

donde $k\gt 1$ , $s = 3+2\sqrt{2}$ and $g = 2-\sqrt{2}$

exemples $$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{6}{i}\binom{10}{2-i}= 0$$ $$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{47}{i}\binom{51}{14-i}= 0$$ $$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{286}{i}\binom{290}{84-i}= 0$$ $$...$$ ....etc.

Se trata de esta cuestión.

Hay otras identidades como este, donde los números enteros se obtienen a partir de una recursividad?

Una generalización (en la prolija presentación sugerida por @JeanMarie) sería, para un determinado número entero positivo $p$

$$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{u_k}{i}\binom{u_k+p}{v_k-i}= 0$$

Este fue el caso de $p=4$. Los casos de $p\le 3$ son tratados en la anterior pregunta.

Para $p=5$ tenemos cuatro pares de secuencias de $(u_k,v_k)$

$$u_k=18u_{k-1}-u_{k-2}+48\ \ \ v_k=18v_{k-1}-v_{k-2}+8$$ con $$u_0=2,u_1=-2\ \ \ v_0=6,v_1=0$$ $$u_0=-1,u_1=-1\ \ \ v_0=2,v_1=0$$ $$u_0=-1,u_1=-1\ \ \ v_0=3,v_1=1$$ $$u_0=-2,u_1=2\ \ \ v_0=1,v_1=3$$

Para $p=6$ tenemos dos pares de secuencias de $(u_k,v_k)$

$$u_k=14u_{k-1}-u_{k-2}+42 \ \ \ v_k=14v_{k-1}-v_{k-2}+6$$ con $$u_0=-1,u_1=-2\ \ \ v_0=4,v_1=0$$ $$u_0=-2,u_1=-1\ \ \ v_0=2,v_1=0$$

Para $p=8$ tenemos dos pares de secuencias de $(u_k,v_k)$

$$u_k=6u_{k-1}-u_{k-2}+18 \ \ \ v_k=6v_{k-1}-v_{k-2}+2$$ con $$u_0=-1,u_1=-2\ \ \ v_0=5,v_1=1$$ $$u_0=-2,u_1=-1\ \ \ v_0=3,v_1=1$$

Pregunta: Encontrar el resto de los pares de secuencias $(u_k,v_k)$, $v_k \lt u_k$ para $p=7$ o $p\ge 9$ (si la hubiere).

Answer 1

Dos piezas de información

1) te aconsejo que leas el Capítulo 5 de el maravilloso libro "Concreto de las Matemáticas" (Graham, Knuth, Patashnik) Addison-Wesley, de 1989, que es el mismo espíritu que el libro "A=B", que ha sido recomendado por @Gabriel Nivasch.

2) la expresión debe ser simplificada de esta manera:

$$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{u_k}{i}\binom{u_k+4}{v_k-i}= 0$$

donde $u_n$ $v_n$ son las secuencias definidas resp. por la segunda orden de la recurrencia de las relaciones:

$$u_{n+1}=6u_n-u_{n-1}+10 \ \ \text{with} \ \ u_0=6 \ \text{and} \ u_1=47$$

y

$$v_{n+1}=6v_n-v_{n-1}+2 \ \ \text{with} \ \ v_0=10 \ \text{and} \ v_1=51$$

De esta manera usted tiene una prolija presentación sin falsos irrationals.