La identidad es
$$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{\frac{s^k + s^{-k} - 10}{4}}{i}\binom{\frac{s^k + s^{-k} - 10}{4}+4}{\frac{gs^k + 2g^{-1}s^{-k} - 4}{8}-i}= 0$$
donde $k\gt 1$ , $s = 3+2\sqrt{2}$ and $ g = 2-\sqrt{2}$
exemples $$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{6}{i}\binom{10}{2-i}= 0$$ $$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{47}{i}\binom{51}{14-i}= 0$$ $$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{286}{i}\binom{290}{84-i}= 0$$ $$...$$ ....etc.
Se trata de esta cuestión.
Hay otras identidades como este, donde los números enteros se obtienen a partir de una recursividad?
Una generalización (en la prolija presentación sugerida por @JeanMarie) sería, para un determinado número entero positivo $p$
$$\sum_{i\ge 0}(-1)^i \binom{u_k}{i}\binom{u_k+p}{v_k-i}= 0$$
Este fue el caso de $p=4$. Los casos de $p\le 3$ son tratados en la anterior pregunta.
Para $p=5$ tenemos cuatro pares de secuencias de $(u_k,v_k)$
$$u_k=18u_{k-1}-u_{k-2}+48\ \ \ v_k=18v_{k-1}-v_{k-2}+8$$ con $$u_0=2,u_1=-2\ \ \ v_0=6,v_1=0$$ $$u_0=-1,u_1=-1\ \ \ v_0=2,v_1=0$$ $$u_0=-1,u_1=-1\ \ \ v_0=3,v_1=1$$ $$u_0=-2,u_1=2\ \ \ v_0=1,v_1=3$$
Para $p=6$ tenemos dos pares de secuencias de $(u_k,v_k)$
$$u_k=14u_{k-1}-u_{k-2}+42 \ \ \ v_k=14v_{k-1}-v_{k-2}+6$$ con $$u_0=-1,u_1=-2\ \ \ v_0=4,v_1=0$$ $$u_0=-2,u_1=-1\ \ \ v_0=2,v_1=0$$
Para $p=8$ tenemos dos pares de secuencias de $(u_k,v_k)$
$$u_k=6u_{k-1}-u_{k-2}+18 \ \ \ v_k=6v_{k-1}-v_{k-2}+2$$ con $$u_0=-1,u_1=-2\ \ \ v_0=5,v_1=1$$ $$u_0=-2,u_1=-1\ \ \ v_0=3,v_1=1$$
Pregunta: Encontrar el resto de los pares de secuencias $(u_k,v_k)$, $v_k \lt u_k$ para $p=7$ o $p\ge 9$ (si la hubiere).
