Ejemplos de conjuntos compactos son infinitas dimensiones y no acotada

Question

En un infinito dimensional espacio de Banach, hace un subconjunto compacto tiene que ser finito dimensionales? Sé que no puede contener infinitas dimensiones de las bolas, si esto quiere decir que tiene que ser finito dimensional, entonces ¿por qué a veces veo frases como "para cualquier compacto subespacios de algunos vectores del espacio"?

También, hacer compact establece en infinitas dimensiones de los espacios de Banach tiene que estar acotada?

Hay un resultado general que nos dice lo compacto de subconjuntos de infinitas dimensiones espacios vectoriales?

Muchas gracias!

Answer 1

1. Un conjunto compacto debe estar acotada. De lo contrario podemos tomar $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$ tal que $\| x_n \| \geq n$. Esto no tendrá ningún convergente larga, que podemos probar, demostrando que no tiene Cauchy larga.

2. Un conjunto compacto debe ser cerrado. De lo contrario, podemos elegir una secuencia que converge a un punto en el cierre que no está en el conjunto. Esto no tendrá ningún convergente larga (dentro del conjunto, al menos).

3. Un cerrado y acotado conjunto no necesita ser compacto. En infinitas dimensiones, cerrado bolas no son compactos. Por ejemplo, en $\ell^p$, $\{ e_1,e_2,\dots,e_n,\dots \}$ es una secuencia en la bola unidad cerrada que no tiene convergente larga. En un infinito dimensional del espacio de Hilbert en esencia podemos copiar este ejemplo mediante la búsqueda de una ortonormales de la secuencia. El resultado se da en cualquier infinitas dimensiones espacio de Banach, pero los detalles de la construcción no son tan triviales.

4. Un conjunto compacto puede ser de infinitas dimensiones, en el sentido de que no está contenida en ningún finito dimensionales subespacio. Una manera de generar infinitas dimensiones compactas conjuntos es para asegurarse de que cualquier secuencia de vectores linealmente independientes converge a cero. Así, por ejemplo, si $X=\ell^p$, considerar el conjunto $\{ 0,e_1,e_2/2,\dots, e_n/n,\dots \}$. Este es claramente de infinitas dimensiones, pero también es compacto, ya que cualquier secuencia en este conjunto, ya sea converge a $0$ o tiene una constante larga.

5. En general, un subconjunto $A$ a de un espacio métrico $X$ es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Un subconjunto de un espacio métrico es totalmente acotado si para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y puntos de $x_1,\dots,x_N$ tal que $A \subset \bigcup_{n=1}^N B(x_n,\varepsilon)$. En un espacio de Banach $X$, esto es equivalente a decir que es limitado y, para cada $\varepsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y un subespacio $V$ $X$ cuya dimensión es $N$ tal que $(\forall x \in A) \, d(x,V) < \varepsilon$.

Answer 2

El siguiente resultado:

Deje $(X,\lVert\cdot\rVert)$ ser un espacio de Banach y $S$ un subconjunto de a $X$. A continuación, $S$ es compacto si y sólo si las dos condiciones siguientes:

• $S$ es limitada;
• para cada uno positivo $\varepsilon$, existe un espacio de dimensión finita $F=F(\varepsilon)$ tal que para todos los $x\in S$,$d(x,F)=\inf\{\lVert x-y\rVert, y\in F\}\lt\varepsilon$.

Estas condiciones son suficientes porque si $\varepsilon$ es fijo, no es un número entero $n$ $x_1,\dots,x_n \in S$ tal que $S\subset\bigcup_{j=1}^nB(x_j,\varepsilon)$ y tomamos $F$ como el subespacio vectorial generado por el $x_j$'s. Tomando $\varepsilon=1$ tenemos que $S$ está acotada.

Lo contrario es un poco más complicado. Deje $M$ ser tal que $\lVert x\rVert\lt M$ por cada $x\in S$. Fix $\varepsilon\gt 0$. A continuación, $B(0,M+\varepsilon)\cap F(\varepsilon)$ tiene un pacto de cierre, por lo tanto, no es un número entero $N$ $y_1,\dots, y_N$ tal que $B(0,M+\varepsilon)\cap F(\varepsilon)\subset\bigcup_{j=1}^NB(y_j,\varepsilon)$ y llegamos a la conclusión de que $S\subset \bigcup_{j=1}^NB(y_j,\varepsilon)$.