Deseo evaluar el conmutador siguiente: $[\operatorname{sign}(X),\, \operatorname{sign}(P)]$. ¿Hay un método general para evaluar $[\operatorname{f}(X), \operatorname{f}(P)]$? He pensado en una expansión de Taylor pero es discontinua en $\operatorname{sign}(x)$ $x=0$. ¿Cómo valora este conmutador?
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lionelbrits
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¿Por qué es necesario este conmutador? Yo empezaría tratando de evaluar $$\int\!dx'\,dp'\, \langle \phi |\operatorname{sgn}(x) |x'\rangle\langle x'|p'\rangle\langle p'|\operatorname{sgn}(p) |\psi\rangle$ $ y entonces cada integrante obtiene dividido, por ejemplo,
$$-\int_{-\infty}^0\!dx'\,dp'\, \langle \phi |x'\rangle\langle x'|p'\rangle\langle p'|\operatorname{sgn}(p) |\psi\rangle + \int_{0}^\infty\!dx'\,dp'\, \langle \phi |x'\rangle\langle x'|p'\rangle\langle p'|\operatorname{sgn}(p) |\psi\rangle$ $ y semejantemente para $p'$, que le da 4 integrales. La otra mitad del conmutador es %#% $ #%
Tenga en cuenta que $$- \int\!dx'\,dp'\, \langle \phi |\operatorname{sgn}(p) |p'\rangle\langle p'|x'\rangle\langle x'|\operatorname{sgn}(x) |\psi\rangle$ para que cuando resta los últimos 4 integrales de los primeros 4, tendrá que cambiarle una coordenada para poder cancelar cosas.
Stefano
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I) El CCR lee
$$\tag{1} [\hat{X},\hat{P}]~=~i\hbar ~{\bf 1}. $$
Podemos imitar a la función delta de Dirac y el signum de la función a través de la siguiente integral de las representaciones de$^1$
$$\etiqueta{2} \delta(\hat{X})~=~ \int_{\mathbb{R}} \! \frac{{\rm d}p}{2\pi\manejadores} \exp\left(\frac{p\hat{X}}{i\manejadores}\right) \qquad \delta(\hat{P})~=~ \int_{\mathbb{R}} \! \frac{{\rm d}x}{2\pi\manejadores} \exp\left(\frac{i x\hat{P}}{\manejadores}\right), $$
$$\etiqueta{3} {\rm sgn}(\hat{X})~=~ \int_{\mathbb{R}} \! \frac{i{\rm d}p}{\pi p} \exp\left(\frac{p\hat{X}}{i\manejadores}\right) \qquad {\rm sgn}(\hat{P})~=~ \int_{\mathbb{R}} \! \frac{{\rm d}x}{i\pi x} \exp\left(\frac{ix\hat{P}}{\manejadores}\right). $$
El buscado colector puede ser, por ejemplo, escrito en $\hat{X}\hat{P}$-forma ordenada
$$\etiqueta{4} [{\rm sgn}(\hat{X}),{\rm sgn}(\hat{P})] ~=~ \iint_{\mathbb{R}^2} \! \frac{{\rm d}x~{\rm d}p}{\pi^2 xp} \left[1-\exp\left(\frac{px}{i\manejadores}\right)\right] \exp\left(\frac{p\hat{X}}{i\manejadores}\right) \exp\left(\frac{ix\hat{P}}{\manejadores}\right). $$
En eq. (4) se han utilizado las siguientes trunca Baker-Campbell-Hausdorff fórmula
$$\etiqueta{5} e^{\hat{A}}e^{\hat{B}} ~=~e^{[\hat{A},\hat{B}]}e^{\hat{B}}e^{\hat{A}}, $$
que tiene si el colector $[\hat{A},\hat{B}]$ viajes con los explotadores $\hat{A}$$\hat{B}$.
II) En una función de onda $\psi(x)=\langle x |\psi\rangle $ en el de Schrödinger, la posición de la representación,
$$\tag{6} \hat{X}~=~x, \qquad \hat{P}~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}, $$
tenemos
$$\tag{7} \langle x |{\rm sgn}(\hat{P}) |\psi\rangle~=~ \int_{\mathbb{R}} \! \frac{{\rm d}y}{i\pi y}\langle x+y |\psi\rangle, $$
y por lo tanto el elemento de la matriz de la que busca el conmutador se convierte en
$$\etiqueta{8} \langle x |[{\rm sgn}(\hat{X}),{\rm sgn}(\hat{P})] |\psi\rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \! \frac{{\rm d}y}{i\pi y}\left({\rm sgn}(x)-{\rm sgn}(x+y)\right)\psi(x+y).$$
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$^1$ El valor principal de Cauchy se asume de forma implícita en los lugares pertinentes.
Sandeep
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Aquí está mi respuesta (he tenido tiempo de contestar, solo por hoy). Primero de todos, en general, si $A$ es un uno mismo-adjoint operador en el espacio de Hilbert $H$ con el espectro, $\sigma(A)\subset R$ (en realidad es un cerrado normal operador sería suficiente), y $f: \sigma(A) \to C$ es Borel medible función (así, por ejemplo continuo hasta un número finito de puntos sería ACEPTAR), $f(A)$ se define como: $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(\lambda) dP^{(A)}(\lambda)\:,\qquad (1)$$ donde $\{P^{(A)}_E\}_{E \in {\cal B}(R)}$ es el llamado espectral medida de $A$ (por ejemplo, ver http://planetmath.org/spectralmeasure). El $P_E$ son ortogonales proyectores marcados por los conjuntos de Borel $E$. En realidad resulta que $P_E=0$ si $E\cap \sigma(A)= \emptyset$, en este sentido, la medida se concentra en el espectro de la $A$. Físicamente $\sigma(A)$ es el conjunto de los valores que la observable $A$ puede asumir.
El hecho de que $A$ es sefl-adjoint garantiza la existencia de las mencionadas nociones y la viabilidad de la construcción me voy a resumir.
La integral en (1) se define de una manera similar a la utilizada para Riemann o integrales de Lebesgue, primero la definición de la integral de una función $s$ la consecución de un número finito de valores de $s_1,\ldots, s_n$ correspondientes a los conjuntos de $E_1,\ldots, E_n$: $$S(A) := \int_{\sigma(A)} s(\lambda) dP^{(A)}(\lambda) := \sum_{i=1}^n s_i P_{E_i} \qquad (1)'$$ y, a continuación, tomar el límite a través de una secuencia de tales funciones $S_j$ punto de sabio tiende a $f$$j \to +\infty$: $$\int_{\sigma(A)} f(\lambda) dP^{(A)}(\lambda) \psi := \lim_{j\to +\infty} \int_{\sigma(A)} s(\lambda) dP^{(A)}(\lambda)\psi\:. \quad (2)$$ La noción de convergencia es que el espacio de Hilbert de la teoría. La definición aportada hace preciso el dominio de $f(A)$: está dada por los vectores $\psi \in H$ tal que el límite en (2) existe.
Vale la pena subrayar que:
(a) el operador $f(A)$ es limitada (que es continua) y definida en todo el espacio de Hilbert, si la función de $f$ está delimitado en $\sigma(A)$;
(b) se tiene: $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ y esta identidad determina completamente $\{P_E^{(A)}\}_{E\in {\cal B}(R)}$ para un determinado auto-adjunto opertor $A$. También se plantea tomar (a) en accoutn, que $A$ es acotado si (y sólo si) el mapa de $\lambda \to \lambda$ está delimitado en $\sigma(A)$ que, a su vez, significa que $\sigma(A)$ está acotada.
Para responder a la pregunta general de la OP, el de la definición de $f(A)$ es que uno tiene que utilizar para calcular cosas como $[f(X), f(P)]$.
Si $f$ no está limitado a los dominios de $f(X)$ $f(P)$ no están todo el espacio de Hilbert, y por lo tanto el gran cuidado se ha de utilizar en computación en el colector de arriba, ya que sólo se define en común invariante de dominio.
Sin embargo, este no es el caso de $f= sgn$, ya que es limitado.
Pasemos para el cálculo de $[sgn(X), sgn(P)]$ que, en consecuencia, es un operador acotado así.
Si $A=X$ (posición del operador en $L^2(R)$), su espectral medida es bastante trivial: $$(P^{(X)}_E \psi)(x):= \chi_{E}(x)\psi(x)\:,\qquad (3)$$ donde $\chi_E(x)=1$ si $x\in E$ $\chi_E(x)=0$ si $x\not \in E$. En consecuencia, la explotación (1) " (por $sgn$ asume únicamente tres valores (respectivamente $-1$ en $E_1=(-\infty,0)$, $0$ en $E_2= \{0\}$, $1$ en $E_3= (0,+\infty)$), uno inmediatamente se ve que: $$(sgn(X) \psi)(x) = sgn(x) \psi(x)\:. \qquad (4)$$
Tenemos al lado para centrarse en el impulso operador $P$. En el siguiente voy a suponer $\hbar=1$ por el bien de la simplicidad de notación. De ahora en adelante ${\cal F}: L^2(R) \to L^2(R)$ es la transformada de Fourier, que se define en $L^1$ funciones (y que se extendió por $L^2$ continuidad en un unitario mapa en $L^2$) por la costumbre integral fórmula: $${\cal F}: \psi(x) \mapsto \hat{\psi}(p) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_R e^{-ipx} \psi(x) dx\:.$$ Con estas definiciones, resulta que el espectral medida de $P$ es $$(P^{(P)}_E \psi)(x) := {\cal F}^{-1}\left( \chi_E \cdot \hat{\psi}\right)(x)$$ En otras palabras: en el momento de la representación, el espectral medida de $P$ coincide exactamente con la de $X$ en la posición de la representación.
Como el espectro de la teoría es "colectivo" en virtud de transformaciones unitarias, se implica en particular que $sgn(P)$ en el momento de la representación es de nuevo se define como:
$$\left(sgn(P)_{momentum} \hat{\psi}\right)(p) = sgn(p) \hat{\psi}(p)\:,$$ así que, volviendo a la posición de la representación: $$sgn(P)\psi = {\cal F}^{-1} \left(sgn(p) \hat{\psi}(p)\right)\:. \quad (5) $$
Estamos en una posición para calcular la quería colector. Voy a suponer que $\psi \in {\cal S}(R)$ el espacio de Schwartz, porque, en este caso la transformada de Fourier puede ser calculada como la habitual integral y dado que el espacio es denso en $L^2$, de modo que el resultado final se puede lograr con sólo tener un límite (como el colector de ser delimitada como se destacó más arriba). Con la elección de $\psi$ toda la integración puede ser de forma segura intercambian. Yo no entrar en detalles.
La explotación (4) y (5) (e intercambiar los integrales) tenemos casi de inmediato:
$$\left(sgn(X)sgn(P) \psi\right)(x)= \int\int \frac{e^{ip(x-y)}}{2\pi} sgn(p) sgn(x) \psi(y) dy dp$$
y
$$\left(sgn(P)sgn(X) \psi\right)(x)= \int\int \frac{e^{ip(x-y)}}{2\pi} sgn(p)sgn(y) \psi(y) dy dp\:.$$
Tomando la diferencia y la inserción de un $\epsilon$ receta para separar integrales, tenemos:
$$\left([sgn(X),sgn(P)]\psi \right)(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+}\int \left(\int \frac{e^{ip(x-y) -|p| \epsilon}}{2\pi} sgn(p) dp\right) (sgn(x): sgn(y)) \psi(y) dy $$
Calcular la integral (por favor, compruebe los valores de los coeficientes) finalmente llegamos:
$$\left([sgn(X),sgn(P)]\psi \right)(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{1}{i\pi}\int_R \frac{(x-y)(sgn(x): sgn(y))}{(x-y)^2 + \epsilon^2} \psi(y) dy \:.$$
Formalmente, es posible introducir el llamado valor principal de Cauchy:
$$\frac{1}{2}\frac{(x-y)}{(x-y)^2 + 0^2} = Vp \frac{1}{x-y}$$
de modo que la identidad puede ser re-ordenadas en términos del valor principal de Cauchy como se ha hecho en la otra respuesta.
