Encontrar todos los números reales $c$ satisfacer la siguiente condición: todos $n \in \mathbb{N}$, tenemos $n^c \in \mathbb{N}$.

Question

Encontrar todos los números reales $c$ satisfacer la siguiente condición:

Para todos los $n \in \mathbb{N}$, tenemos $n^c \in \mathbb{N}$.

Mi intento: claramente todos los trabajos #% de la %#% mientras que entero negativo $c \in \mathbb{N}$ no funciona.

Supongamos que $c$ tal que $c=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$. Entonces denotar $n^c \in \mathbb{N}$ como la parte fraccionaria de $\{ x \}$ $x$ de denotar como parte entera de $\lfloor x \rfloor$. Entonces tenemos $x$, que es una contradicción. Así $n^{\frac{p}{q}}=n^{\lfloor \frac{p}{q} \rfloor} n^{\{ \frac{p}{q} \}} \in \mathbb{N} \Rightarrow n^{\{ \frac{p}{q} \}} \in \mathbb{Q}$ no es número racional.

Tengo problemas para probar $c$ no es número irracional. ¿Alguien puede dar alguna pista?

Answer 1

Si $0<c<1,$ $1<2^c<2,$ $c$ no tiene la propiedad. Supongamos ahora $1<c<2.$ Definir $f(x) = (x+1)^c-x^c.$ Porque $x^c$ es estrictamente convexa, $f(x)-f(x-1)> 0$ $x\ge 1.$ Eso es porque es igual a

$$\frac{(x+1)^c - x^c}{(x+1)-x}-\frac{x^c - (x-1)^c}{x-(x-1)},$$

es decir, la diferencia en las laderas de los sucesivos acordes en la gráfica de una estrictamente convexa de la función. Por otro lado, el MVT muestra $f(x)-f(x-1) = f'(y_x) = c[(y_x+1)^{c-1}-y_x^{c-1}].$ Porque $0<c-1<1,$ esta última diferencia $\to 0$ $x\to \infty.$ Si $c$ si la propiedad en cuestión, entonces tenemos $f(n+1)-f(n)$ es siempre un entero positivo y, sin embargo, $\to 0,$ contradicción.

Bueno, es un comienzo ...