Quiero evaluar %#% $ de #% realizar esta integral en arce, convergen. ¿Cómo conseguimos una forma cerrada? ¿Que se relaciona con polylogs? $$\int_{0}^{1}{\frac{{{\ln }^{2}}\left( 1-x \right){{\ln }^{2}}\left( 1+x \right)}{1+x}dx}$
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$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}{\frac{{{\ln }^{2}}\left( 1-x \right){{\ln }^{2}}\left( 1+x \right)}{1+x}dx} &=& \left. \left(\frac{\partial^2}{\partial s^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \int_0^1 dx\, (1-x)^s(1+x)^{t-1} \right) \right|_{s=t=0} \\ &=& \left. \left(\frac{\partial^2}{\partial s^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \,\frac{{}_2F_1(1-t,1;s+2;-1)}{s+1} \right) \right|_{s=t=0} \end{eqnarray*}$$ Aquí hemos utilizado de Euler representación integral de la función hipergeométrica.
Addendum: El uso de la serie de la representación de la función hipergeométrica podemos tomar los derivados. Después de un poco de trabajo nos encontramos con la integral se puede escribir como $$\sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1} \left(H_k^2 - H_k^{(2)}\right) \left(H_{k+1}^2 + H_{k+1}^{(2)}\right),$$ donde $H_k$ $H_k^{(n)}$ son los armónicos y generalizado de la armónica de los números, respectivamente. Esta suma tiene mala convergencia de comportamiento, los términos van como $(-1)^k(\log k)^4/k$ $(k\to\infty)$. Ya que la suma es alterna podríamos acelerar el uso de los Euler transformar, por ejemplo.
Jim Richards
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