La imagen de un mapa de álgebras separables

Question

Estoy leyendo el libro de Lenstra notas sobre el grupo fundamental étale y me he atascado en su ejercicio 3.9(c). Dice que si $A$ y $B$ son álgebras separables sobre un campo $K$ y $f:A \to B$ a $K$ -entonces la imagen de $f$ es precisamente $\{b \in B: b \otimes 1 = 1 \otimes b\text{ in }B \otimes_A B\}$ .

Por su teorema 2.7, todo separable $K$ -es un producto finito de campos de extensión separables $K_i$ de $K$ . Así que los morfismos de dos álgebras de este tipo son bastante restringidos: si no me equivoco, si $A = \prod K_i$ y $B = \prod L_j$ y $v_i$ y $w_j$ son los respectivos idempotentes que definen estos desdoblamientos, entonces cada $f(v_i)$ es una suma de distintos $w_j$ , cada uno de los cuales genera un campo de extensión de $K_i$ .

No sé cómo pasar de esto a la reclamación. Más generalmente, para cualquier mapa de anillos conmutativos $A \to B$ tenemos este subring $\{b\in B:b \otimes 1 = 1 \otimes b \text{ in }B \otimes_A B\}$ que me parece haber visto también en otros contextos, aunque no recuerdo dónde. ¿Existe una forma de pensar de alto nivel sobre este conjunto, o condiciones más generales que te digan que es igual a $f(A)$ ? Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un campo, $f: A \rightarrow B$ un mapa de anillos. Afirmo primero que en este caso del bebé $f(A) = \{b: b \otimes 1 = 1 \otimes b \in B \otimes_A B \}$ . De hecho, tenemos la inclusión $\subseteq$ y en la otra dirección, si $b \notin f(A)$ podemos ampliar $1,b$ a la base $b^i$ para $B$ en $A$ , como $b^i \otimes b^j$ forman una base para $B \otimes_A B$ En particular, tenemos $1 \otimes b \neq b \otimes 1$ .

Reduzcamos a este caso para la pregunta que nos ocupa: se tiene la inclusión natural de $A$ módulos $f(A) \rightarrow \{b \in B: b \otimes 1 = 1 \otimes b\}$ para demostrar que se trata de un isomorfismo basta con hacerlo localmente (esto último se ve fácilmente que es un $A$ módulo). En efecto, supongamos $A = K_1 \oplus \ldots \oplus K_n$ El espectro de $A$ es sólo $\mathfrak{p}_1 \ldots \mathfrak{p}_n$ , donde $\mathfrak{p}_i = \oplus_{j \neq i} K_j \subseteq A$ .

Arreglar algunos $\mathfrak{p}_i =: p$ . Ahora, $A_{p}$ es sólo $K_i$ y $f(A)_p = f_p(A_p)$ , donde $f_p$ es el mapa inducido $A_p \rightarrow B_p$ . Tenemos directamente que $$\{b \in B: b \otimes 1 = 1 \otimes b \in B \otimes_A B\}_p \subseteq \{b \in B_p: b \otimes 1 = 1 \otimes b \in B_p \otimes_{A_p} B_p\}$$ donde utilizamos la identificación canónica $(B \otimes_A B)_p \simeq B_p \otimes_{A_p} B_p$ . Según nuestro análisis anterior (de $A$ sólo un campo) entonces el resultado es el siguiente, ya que todo el RHS es $f_p(A_p)$ .