¿Conversión de una $\prod_{n=2}(1+(-1)^{n}\frac{1}{n})$ en una serie infinita para determinar la convergencia?

Question

Estoy teniendo problemas para determinar si el infinito producto en $(1.)$ converge o diverge, mi ataque fue el uso de la convergencia cretina indica en $(0.)$

$(0.)$

Un Infinito Producto se dice convergente si existe un no-cero límite de la secuencia de los productos parciales:

$$P_{n}=\prod_{k=1}^n(1 + u_{k})$$.

como $n \rightarrow \infty$ El valor del producto infinito es el límite: $$P = \lim_{n \rightarrow \infty}P_{n}$$

y uno escribe $$\prod_{k=1}(1 + u_{k}) = P$$

$(1.)$

$$\prod_{k=2}\left(1 + (-1)^{k}\frac{1}{k}\right)$$

Atacar $(1.)$ a través de nuestros criterios de convergencia indica en $(0.)$ uno puede hacer las siguientes observaciones:

$$P_{n} = \prod_{k=2}^n\left(1 + (-1)^{k}\frac{1}{k}\right)$$

Ahora tomando el límite de $P_{n}$ podemos ver: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\prod_{k=2}^n\left(1 + (-1)^{k}\frac{1}{k}\right)\right)$$

Más observaciones revelan que tenemos las siguientes: $$\lim_{n \rightarrow \infty}P_{n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\prod_{k=2}^n\left(1 + (-1)^{k}\frac{1}{k}\right)\right)= \lim_{n \rightarrow \infty}\left(P_{2}\times P_{3}\times P_{4}\times P_{5} \times \cdots \times P_{n}\right)$$.

Finalmente, en la conclusión de que el límite en el lado derecho lado de nuestro resultado se convierte en la siguiente: $$\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1 +(-1)^{2}\frac{1}{2}\right) \times \cdots + \left(1 +(-1)^{n})\frac{1}{n}\right)$$

Mi pregunta es ¿cómo convertir nuestra secuencia de productos parciales como se ha visto en nuestro anterior resultado en una serie infinita de cualquier forma ?

Answer 1

Se puede considerar la suma parcial de $1)$ incluso o $2)$ número impar de términos:

$$\color{blue}{1) \lim_\limits{n\to\infty} \prod_{k=2}^{2n}\left(1+\frac{(-1)^k}{k}\right)=}$$ $$\lim_\limits{n\to\infty} \left(1+\frac 12\right)\left(1-\frac 13\right)\left(1+\frac 14\right)\left(1-\frac 15\right)\cdots\left(1+\frac 1{2n-2}\right)\left(1-\frac 1{2n-1}\right)\left(1+\frac 1{2n}\right)=$$ $$\lim_\limits{n\to\infty} \frac 32 \cdot \frac 23\cdot \frac 54\cdot \frac 45\cdots\cdot \frac {2n-1}{2n-2}\cdot\frac {2n-2}{2n-1}\cdot\frac {2n+1}{2n}=\lim_\limits{n\to\infty} \frac {2n+1}{2n}=1.$$

$$\color{blue}{2) \lim_\limits{n\to\infty} \prod_{k=2}^{2n+1}\left(1+\frac{(-1)^k}{k}\right)}=$$ $$\lim_\limits{n\to\infty} \left(1+\frac 12\right)\left(1-\frac 13\right)\left(1+\frac 14\right)\left(1-\frac 15\right)\cdots\left(1+\frac 1{2n}\right)\left(1-\frac 1{2n+1}\right)=$$ $$\lim_\limits{n\to\infty} \frac 32 \cdot \frac 23\cdot \frac 54\cdot \frac 45\cdots\cdot\frac {2n+1}{2n}\cdot\frac {2n}{2n+1}=\lim_\limits{n\to\infty} 1=1.$$

Nota: Es posible tomar logaritmo para convertir el producto infinito para una serie.

Answer 2

Sugerencia. Considerar la secuencia de productos parciales: %#% $ de #% tienen una fórmula cerrada.

Answer 3

Sugerencia:

Para los productos parciales impares: $$\begin{align} \prod_{n=2}^{2m+1}\left(1+\frac{(-1)^n}n\right) &=\prod_{k=1}^m\left(1+\frac1{2k}\right)\left(1-\frac1{2k+1}\right) \end {Alinee el} $$ para los productos incluso parciales $$\begin{align} \prod_{n=2}^{2m}\left(1+\frac{(-1)^n}n\right) &=\left(1+\frac1{2m}\right)\prod_{k=1}^{m-1}\left(1+\frac1{2k}\right)\left(1-\frac1{2k+1}\right) \end {Alinee el} $$