Como en el título, si $X$ es de dimensión infinita, todos los conjuntos abiertos en el $\sigma(X,X^{\ast})$ topología son ilimitadas. El $\sigma(X,X^{\ast})$ es la topología más débil que hace que los funcionales lineales en $X^\ast$ continua. ¿Cómo se demuestra esto? ¿Cómo se relaciona el tener una base infinita con que los conjuntos abiertos sean ilimitados? ¡No puedo ver esto, por favor ayuda y gracias de antemano!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Basta con demostrarlo para los conjuntos abiertos básicos no vacíos que contienen $0$ (para los demás, haz una traducción). Estos son de la forma $$V_{N,\delta,f_1,\dots,f_N}=\bigcap_{j=1}^N\{x\in X, |f_j(x)|<\delta\},$$ donde $N$ es un número entero, $f_j\in X^*$ y $\delta>0$ , $1\leq j\leq N$ . Entonces $$\bigcap_{j=1}^N\ker f_j\subset V_{N,\delta,f_1,\dots,f_N}.$$ Como $X$ es de dimensión infinita, $\bigcap_{j=1}^N\ker f_j$ no se reduce a $0$ (de lo contrario, el mapa $x\in X\mapsto (f_1(x),\dots,f_N(x))\in\Bbb R^n$ sería inyectiva). Así que contiene un vector distinto de cero $x_0$ y $\lambda x_0$ para todos los escalares $\lambda$ , lo que demuestra que $V_{N,\delta,f_1,\dots,f_N}$ no está acotado.
