Pregunta:
Considere la posibilidad de una serie infinita de círculos concéntricos, fueron los radios $r_{0}, r_{1}, r_{2}, ...$ formulario de una serie geométrica con la relación de $k$, $0 < k < 1$.
Desde un punto sobre el círculo más externo, de la tangente a la línea se dibuja el círculo sólo dentro de él, una línea tangente de este círculo a la que se acaba dentro de ella y así sucesivamente.
La longitud de las tangentes sucesivas se $l_{0}, l_{1}, l_{2}, ...$
(la imagen es un poco granulada, pero $r_{0}$ es el radio del círculo más externo)
Determinar la relación$k$, de modo que la suma de la serie
$$\sum_{i=0}^{\infty} l_{i}$$
es igual a la circunferencia del círculo más externo.
Attemped respuesta:
De acuerdo a la última parte de la pregunta:
$$\sum_{i=0}^{\infty} l_{i} = 2 \pi r_{0}$$
Puesto que se trata también de una serie geométrica, puede ser escrita como:
$$\sum_{i=0}^{\infty} l_{i} = \sum_{i=0}^{\infty} l_{0} k^{i} = l_{0} \frac{1}{1-k}$$
desde $l_{0}$ es el primer término y $k$ es la proporción. Poniendo estos dos juntos:
$$l_{0} \frac{1}{1-k} = 2 \pi r_{0}$$
Sin embargo, esto significa que tengo una de ecuaciones y tres incógnitas. Sospecho que hay algo que se consigue a partir del hecho de que los círculos son concéntricos y así que esto podría producir una relación entre el$l_{0}$$r_{0}$.
Por ejemplo, si se forman dos triángulos congruentes donde $l_{0}$ $r_{0}$ son dos de los lados del primero, y $l_{1}$ $r_{1}$ dos de los lados para el segundo y utilizar el teorema de Pitágoras, parece que tenemos:
$$l_{0} = \sqrt{r_{0}^{2} - r_{1}^{2}}$$
..pero esto sólo parece que tenemos otro desconocido en la mezcla lugar.
Parece que estoy un poco atascado. ¿Cuáles son algunas formas productivas de la unidad de esta cuestión a la casa?
