Funcionales positivos en $\ell^\infty$

Question

Una funcional lineal continua $\varphi: \ell^\infty \to \mathbb{R}$ dijo ser positivosi $$ x \ge 0 \rightarrow \varphi(x) \ge 0 \quad \forall x \in \ell^\infty.$$

Si $\varphi$$\ell^1 \subset {(\ell^\infty)}^{*}$, entonces existe $(\alpha_n) \in \ell^1$ tal que $\varphi(x) = \sum \alpha_n x_n$. Si $(\alpha_n) \ge 0$, $\varphi$ es positivo.

Si $\varphi$ es un límite de Banach, entonces es positivo.

Hay otras buenas/simple/notable clases positiva de los operadores en ${(\ell^\infty)}^*$?

[editar] Como se indicó en los comentarios a continuación, siéntase libre de dar ejemplos y construcciones basada en el Axioma de Elección.

Answer 1

Otra clase interesante de lineal positiva funcionales en $\ell_\infty$ $\mathcal F$- límites o límites a lo largo de un ultrafilter.

Deje $(x_n)$ ser una verdadera secuencia y $\mathcal F$ ser un filtro en $\mathbb N$. Un número real $L$ $\mathcal F$- límite de esta secuencia, si para cada una de las $\varepsilon>0$ $$\{n; |x_n-L|<\varepsilon\}\in\mathcal F.$$

Se sabe que si la secuencia de $(x_n)$ es limitado y $\mathcal F$ es un ultrafilter, a continuación, $\mathcal F$- límite existe y es único. Ver también esta pregunta para la prueba de este hecho y algunas referencias.

Si recuerdo correctamente, el $\mathcal F$-los límites son precisamente los puntos extremos del conjunto de todos los positivos normativa funcionales de $\ell_\infty^*$. (Por normativa quiero decir $\lVert f \rVert =1 $.) Se caracterizan por la propiedad, que son multiplicativos $\varphi(x.y)=\varphi(x).\varphi(y)$. (I. e., si un funcional lineal $\varphi\in\ell_\infty^*$ es positivo, normativa y multiplicativo, entonces no es un ultrafilter $\mathcal F$ tal que $\varphi$ $\mathcal F$- límite.)

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Usted puede notar que no es posible tener un sistema funcional en $\ell_\infty$, lo que extiende los límites y es a la vez shift-invariante y multiplicativas.

Para que la secuencia de $x=(1,0,1,0,\ldots)$ tenemos $x+Sx=\overline 1$ (donde $S$ denota el operador de desplazamiento). Si un funcional es cambio-invariante de $\varphi(x)=\varphi(Sx)=\frac12$.

Por otro lado, si un funcional $\varphi$ es multiplicativo, obtenemos $\varphi(x.Sx)=\varphi(x).\varphi(Sx)=0$, lo que conduce a $(1/2)^2=0$, una contradicción.

Answer 2

Puede ser vale la pena observar que el cono de positivo funcionales es débil-* cerrado. La combinación de esta con la de Banach-Alaoglu teorema da otra técnica para la producción de positivo funcionales: cualquier norma en el limitado conjunto de positivo funcionales tiene un débil-* punto límite, que es de nuevo positivo funcional.

Por ejemplo, si $\phi_n$ es la evaluación funcional de la $\phi_n(x) = x_n$, entonces cualquier débil-* límite de punto de $\phi$ de la secuencia de $\{\phi_n\}$ es positivo funcional. Estos tienen la interesante propiedad de que $\phi(x)$ es siempre un punto límite (en particular, un subsequential límite) de la acotada secuencia $\{x_n\}$. Estos son bastante diferentes de los límites de Banach. (Considere el $x = (1,0,1,0,\dots)$; un límite de Banach $\psi$ han $\psi(x) = 1/2$, pero $\phi(x)$ es 0 o 1.)