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Encontrar funciones enteras que satisfacen ciertas condiciones

1) Encontrar todos totalidad de las funciones que están uniformemente continua en a $\mathbb{C}$.

2) Encontrar todos totalidad de las funciones de $f(z)$ tal que tal que para cada entero $n \geq 1$,

$$\oint_{\partial\mathbb{D}} f(z)\bar{z}^ndz = 0,$$ where $\mathbb{D}$ es la unidad de disco.

Estoy un poco inestable en el primero, pero creo que es que toda función tiene una infinita radio de convergencia, por lo que está en todas partes normalmente convergente. Así que si cada término es la potencia de la serie es uniformemente continua en a $\mathbb{C}$, entonces la función uniformemente continua en a $\mathbb{C}$. Estoy en el camino correcto?

Para el segundo, no estoy seguro de cómo utilizar la Integral de Cauchy Fórmula, ya que $f(z)\bar{z}^n$ no holomorphic.

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rewritten Puntos 2426

Definición de continuidad uniforme: para cualquier $\epsilon$ no es un porcentaje ($\delta$tal que $|x-y| < \delta \implies\ |f(x)−f(y)|<\epsilon$ para cualquier elección de $x, y$.

Un trascendental de la función no puede ser uniformemente continua, que tiene una singularidad esencial en a $\infty$ (así que usted puede encontrar secuencias aritméticas $z_i$ con el crecimiento exponencial de los valores de $f(z_i)$).

Así que nos quedamos con polinomio, que no están uniformemente continua, incluso en los números reales, excepto para el caso lineal $z \to az+b$ que es uniformemente continua, casi por definición.

Para la segunda pregunta, la integral de línea es exactamente la de Cauchy de la integral en la unidad de ciclo, como $z^{-1} = \bar{z}$. De modo que la definición es equivalente a decir que todos los derivados (a partir de $n=0$ que es el valor real de la función) es cero, por lo que la única solución es la constante de $f:z \to 0$

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