Problema de integración de poder arbitrario

Question

Resolver el siguiente problema. Usando la sustitución de u.

$$\int\frac{\log_5(x)}{x} \, dx$$

Soy sabe $\log_5(x)$ es lo mismo que $\frac{\ln(x)}{\ln(5)}$ pero cómo proceder.

Answer 1

$$\int \frac{\log_5{x}}{x}\,dx = \int \frac{\ln x}{x\ln 5}\,dx = \frac{1}{\ln 5} \int \underbrace{\ln{x}}_{\large u}\cdot \underbrace{\frac 1x\,dx}_{\large \,du} = \frac1{2\ln 5}(\ln{x})^2 + C$$

Answer 2

$$\int dx \frac{\log{x}}{x} = \int d(\log{x}) \log{x} = \frac12 (\log{x})^2 + C$$

Answer 3

$$\text{As }\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\implies \log_5x=\frac{\ln x}{\log_5e}$$

$$\implies\int \frac{\log_5x}x dx=\frac1{\log_e5}\int\frac{\ln x}xdx$$

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Otra vez, $\log_ab\cdot\log_bd=\frac{\log_cb}{\log_ca}\cdot \frac{\log_cd}{\log_cb}=\frac{\log_cd}{\log_ca}=\log_ad$

$\implies \log_5x=\log_ex\cdot\log_5e$

$$\implies \int \frac{\log_5x}x dx=\log_5e\int\frac{\ln x}xdx$$

Ahora a poner $\ln x=u$