Como Jack D'aurizio me sugirió utilizar coordenadas esféricas y era menos doloroso de lo que yo pensaba. He publicado esto como una respuesta porque creo que es mejor que el de la edición de la pregunta y lo que es epicly de largo. Todavía me gustaría saber de alguien que pueda detectar el error en mi método inicial.
Vamos
$$ I = \int \limits_{S_{\epsilon}} \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac32}}. $$
Aquí $S_{\epsilon}$ es una esfera de radio $\epsilon$ sobre el origen. Para evaluar la integral pasamos a coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$. Esto se convierte en
$$ \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=\epsilon\begin{pmatrix}
\cos\theta \sin \phi\\ \sin\theta \sin \phi \\ \cos \phi
\end{pmatrix}=f(\theta,\phi) \quad (\theta,\phi)\[0,\pi)\times [0,2\pi). $$
Entonces nos encontramos con que
$$ df = \begin{pmatrix}
-\epsilon \sin\theta\sin \phi & \epsilon\cos \theta \cos \phi\\
\epsilon \cos \theta \sin \phi & \epsilon \sin \theta \cos \phi\\
0 & -\epsilon \sin \phi
\end{pmatrix}.
$$
De esto se sigue que
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial( \theta,\phi)} =\epsilon^2\sin\phi\cos \phi, $$
$$\frac{\partial (x,z)}{\partial( \theta,\phi)} =\epsilon^2\sin^2 \phi \sin \theta, $$
$$\frac{\partial (y,z)}{\partial( \theta,\phi)} =\epsilon^2\sin^2 \phi \cos \theta. $$
Notar que el denominador en $I$ es simplemente igual a $\epsilon ^3$, realizar la sustitución de los rendimientos
$$I = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\pi} [\sin^3\cos^2\theta +\sin^3\phi \cos^2\theta + \sin \phi \cos^2\phi] d\phi d\theta .$$
Podemos añadir los términos que contengan $\cos^2\theta$ $\sin^2\theta$ y nos hemos quedado sin términos relacionados con la $\theta$. Esto convierte la integral en
$$I = 2\pi\int\limits_0^{\pi} [ \sin^3\phi + \sin\phi \cos^2\phi] d\phi= 2\pi\int\limits_0^{\pi} \sin\phi d\phi=-4\pi. $$
Sin embargo, estoy a la izquierda con un par de preguntas todavía. Quiero creer que el funcionamiento por encima, sin embargo creo que puede ser un problema. Cuando se trabaja fuera de los valores absolutos de la Jacobians simplemente me dejó fuera de los signos negativos, sin embargo, el $\sin$ $\cos$ términos todavía podría ser negativo. En ese caso me gustaría conseguir algunos $|\sin|$ $|\cos|$ términos en mis integral, en cuyo caso tengo que dividir la integral en muchas partes.
En segundo lugar, todavía estoy curioso por saber si alguien puede señalar el error en el que mi método inicial. Gracias
