¿Por qué es cero el número real sólo infinitesimal?

Question

Actualmente estoy leyendo Elementales de Cálculo: Un Infinitesimal Enfoque por H. Jerome Keisler y me preguntaba si alguien me podría ayudar con un aspecto tratado en el libro.

En la página 24 se dice que un número $\varepsilon$ se dice que el ser infinitamente pequeño o infinitesimal si $$-a< \varepsilon < a$$ for every positive real number $$. Él entonces dice que el único número real que es infinitesimal, es cero.

Yo realmente no se que. Lo que yo entiendo es que para que un número que se considera infinitamente pequeño tiene que ser más grande, a continuación, $-a$ más pequeñas y, a continuación,$a$. Bueno, si me tome $a$ $-2$ que significa que $-1$ sería infinitesimal, ya que es más grande que $-2$, pero más pequeño, a continuación,$2$. Entonces, ¿cómo puede ser cero el único número real que cumple esa condición?

Answer 1

El punto es que es mayor que $-a$ y menos de $a$ para cada $a$. Así que si consideras $e = -1$, es correcto que $-2 < -1 < 2$ pero ¿qué acerca de $-\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$? Claramente no mentira de $-1$ entre $-\frac{1}{2}$y $\frac{1}{2}$. Además, si tuvieras cualquier número distinto de cero $x$, $x$ no mentira entre $-\frac{x}{2}$y $\frac{x}{2}$. Así el único infinitesimal real es $0$.

Answer 2

Su ejemplo de $a$ $2$ y concluyendo que el $1$ es infinitesimal, ya que es entre el $-2$ $2$ no es un buen ejemplo.

La razón de esto es que la definición de un infinitesimal $\varepsilon$ es que el $-a \leq \varepsilon \leq a$ para cada número real positivo $a$. Usted acaba de recoger algún número real positivo. Esto tiene que ser verdadera para todo número real positivo. Eso significa que $\varepsilon$ tiene que ser en $[-2, 2]$ y en $[-1, 1]$ y en $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ y en $[-\frac{1}{1000000}, \frac{1}{1000000}]$, y así sucesivamente. Ese mismo $\varepsilon$ tiene que ser en todos ellos al mismo tiempo de ser un infinitesimal.

La única real número que satisface que está entre la $-a$ $a$ para cada una de las $a > 0$$\varepsilon = 0$.

Por lo que cualquier número $\varepsilon$ otros de $0$ que satisface $-a \leq \varepsilon \leq a$ por cada $a > 0$ real no puede ser en sí mismo una real número, pero hay un montón de infinitesimals que no son números reales. Como hemos comentado, $0$ es el único número que es a la vez real y infinitesimal.

Answer 3

Vamos a tomar tu sugerencia en serio: que los números entre -2 y 2 son infinitesimales. A continuación, 'infinitesimal' no significa 'menor que cualquier número real", sólo puede significar algo así como 'indistinguible de cero' si $\varepsilon$ es demasiado pequeño, donde "demasiado pequeños" significa $<|2|$. Puesto que los números de menos de dos de mayo, en el su derecho propio, ser distinto de cero lo que esto realmente significa es que no puede ser capaz de decir si una variable con un valor de menos de dos es distinto de cero sería indetectable. Esta idea puede parecer unmathematical pero puede ser representado de forma consistente en matemáticas por el abandono de LEM para la continuidad y dar un punto central y a la 'zona incierta'; podríamos llamar a la mitad del rango de la resolución. El tipo de análisis más adecuado para esto es intuitionism que implica la utilización de elección de las secuencias. Vale la pena señalar que $\varepsilon$'s dentro de la zona siempre tiene una dirección, para considerar una zona centrada en el 1: la elección de la secuencia de 0.999... puede ser menos que o igual a 1, pero sin duda no más de 1; del mismo modo, la elección de la secuencia de 1.000... puede ser igual o más de 1, pero sin duda no menos de uno. ¿Qué consecuencias tiene esto para el cálculo? Así, si la resolución de los instrumentos derivados es el mismo que para el de las variables, a continuación, para calcular la tasa instantánea de cambio tenemos que conseguir que el 'error' por debajo de la resolución. Tome $x^2$ como un ejemplo, la resolución sólo es $\varepsilon$ debido a que el total derivado de la $x^2$$2x + \varepsilon$. Hay dos cosas importantes para recordar acerca de esto: en primer lugar, en la práctica, esta es la forma en matemáticas superiores se usa en realidad instantánea de las tasas de cambio no puede en teoría ser medido, si hay algo que obedece a una función se tienen que medir los puntos en que la función; en segundo lugar, no hace ninguna diferencia para el "rigor" de las técnicas utilizadas - estamos justificando descuidar términos porque nosotros no los necesitamos y ellos no hacen ninguna diferencia para cualquier cálculos posteriores. Por lo que su sugerencia se puede hacer funcionar sin ninguna dificultad, es solo que algunas personas se sienten incómodas al respecto.