¿Por qué no se pueden sumar manzanas y naranjas, pero sí se pueden multiplicar y dividir?

Question

¿Cuál es la diferencia algebraica entre las operaciones aritméticas, que impide sumar o restar entidades con unidades diferentes, pero permite multiplicarlas o dividirlas?

Esto parece más bien una pregunta para Física Pero las longitudes y las áreas, por ejemplo, pertenecen al ámbito de las matemáticas puras.

Ahora, no puedo sumar o restar un área y una longitud, ¡pero puedo multiplicar y dividir un área con una longitud!

Lectura de Wikipedia Parece que se trata de una propiedad de las dimensiones set . ¿Depende sólo de la definición de las dimensiones, o es algo intrínseco a las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir?

Por favor, explíquelo con palabras sencillas, si es posible.

Answer 1

Las manzanas y las naranjas son en realidad un ejemplo bastante malo. La razón por la que no tiene sentido añadir cantidades con diferentes dimensiones, pero hace sentido multiplicarlos (o dividirlos) es invarianza de escala .

Sea U la unidad de alguna cantidad $u$ y $V$ sea la unidad de otra cantidad $v$ . Ahora digamos que cambiamos el escala de U, es decir, utilizamos en su lugar una unidad diferente U' tal que $1U = 10U'$ . Para $V$ hacemos lo mismo, sólo que allí elegimos $V'$ tal que $1V = 5V'$ . Si calculamos la suma $s$ de $u$ y $v$ en unidades U,V obtenemos $$ s = u + v $$ Si, en cambio, calculamos la suma en unidades $U'$ y $V'$ Sin embargo, obtenemos $$ s' = 10\cdot u + 5\cdot v $$ Tenga en cuenta que $s$ y $s'$ no sólo difieren por un factor, es decir, no podemos convertir $s$ de la unidad $U+V$ a $s'$ en la unidad $U'+V'$ sin conocer la original valores de $u$ y $v$ .

Compárelo con la situación de un producto. Si calculamos el producto $p$ de $u$ y $v$ en unidades $U$ y $V$ obtenemos $$ p = u\cdot v $$ Si, en cambio, lo calculamos en unidades $U'$ y $V'$ obtenemos $$ p' = (10\cdot u) \cdot (5\cdot v ) = 50\cdot p \text{.} $$ Así que $p'$ es simplemente $p$ expresado en una forma diferente unidad P', con $1P = 1UV = 50P' = 1U'V'$ .

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Entonces, ¿por qué quiere ¿invarianza de escala? Lo queremos, porque la escala de las unidades físicas suele ser completamente arbitraria. No hay nada fundamental en 1 metro, o en 1 pulgada, o en 1 voltio - simplemente elegimos algunos valor de referencia. Pero como el valor de referencia es arbitrario La física real no debe cambiar si la sustituimos por otra diferente. Lo cual no sucede, siempre y cuando sólo multiplicar y dividir pero no añadir o restar con diferentes unidades, como muestra el ejemplo anterior.

Y también por eso las manzanas y las naranjas son un mal ejemplo. Nosotros no esperar invarianza de escala para estos, porque las manzanas y las naranjas son discreto para que haya una definición canónica de lo que significa "1 manzana". Así que sumar manzanas y naranjas tiene mucho sentido, y podemos, por ejemplo, asignar al resultado la unidad frutas .

Answer 2

Supongo que se pueden añadir manzanas y naranjas. Sólo hay que tomar la suma directa externa de los espacios de la fruta. Además, puedes recordar la teoría del todo de Feynman: toma las ecuaciones de la física y escríbelas de forma homogénea $E_1=0, E_2=0, \dots$ entonces la teoría del todo es simplemente: $$ 0=E_1=E_2= \cdots $$ puede notar que esto es dimensionalmente inconsistente.

Answer 3

La pregunta de la suma está relacionada con la propiedad distributiva de los números: $ax+bx=(a+b)x$

Con: $$\begin{align}3\,\mathrm{oranges}+5\,\mathrm{oranges}&=(3+5)\,\mathrm{oranges}\\&=8\,\mathrm{oranges}\end{align}$$

Y la falta de tal propiedad para una expresión como: $$\begin{align}3\,\mathrm{oranges}+5\,\mathrm{apples}\end{align}$$

Mientras que con la multiplicación, las propiedades asociativas y conmutativas lo permiten: $$\begin{align}(3\,\mathrm{oranges})\cdot(5\,\mathrm{apples}) &=(\mathrm{oranges}\,3)\cdot(5\,\mathrm{apples})\\ &=\mathrm{oranges}\,(3\cdot(5\,\mathrm{apples}))\\ &=\mathrm{oranges}\,((3\cdot5)\,\mathrm{apples})\\ &=\mathrm{oranges}\,(15\,\mathrm{apples})\\ &=(\mathrm{oranges}\,15)\,\mathrm{apples}\\ &=(15\,\mathrm{oranges})\,\mathrm{apples}\\ &=15\,(\mathrm{oranges}\,\mathrm{apples})\\ &=15\,\mbox{orange-apples}\\ \end{align}$$

Así que desde una perspectiva, la pregunta es sobre qué propiedades de la aritmética utilizamos, y por qué no hay una propiedad como $ax+by=(a+b)(x+y)$ . Y no existe tal propiedad porque ni siquiera se cumple con los enteros, con la multiplicación de enteros definida como una suma repetida.

Answer 4

Creo que deberías ver esto simbólicamente. Las unidades son sólo variables "ficticias" no evaluadas que permanecen simbólicas (porque representan una cantidad física no se les puede dar un valor numérico). Esto no es nada especial, también nos gusta mantener $i$ y $\pi$ sin evaluar, incluso cuando tienen un poco más de propiedades matemáticas definidas que nuestras unidades.

Cuando se computa con unidades, se dejan sin evaluar, tanto en la suma y ¡multiplicación! Piensa en ello:

$$3\text{orange}\times 4\text{apple}=12(\text{orange}\times \text{apple})$$

El grupo multiplicativo al que pertenecen las unidades puede definir un alias para este producto concreto, pero eso es sólo una regla de sustitución (como joule=newton*metro). Así que, en esencia, no estás multiplicando naranjas y manzanas, estás dejando el producto sin evaluar. Lo mismo ocurre con la suma: $$3\text{orange}+4\text{apple}=3\text{orange}+4\text{apple}$$ Es que no se puede simplificar en un producto de valor*unidad. Porque esperar expresiones finales para estar en la forma valor*unidad, decimos que no podemos hacer eso, pero la expresión anterior por sí misma es matemáticamente válida (aunque físicamente no tiene sentido, porque no hay ninguna cantidad física con unidades 3naranja+4manzana, o, 0,75naranja+manzana si quieres).

Lo mismo ocurre con la evaluación de funciones matemáticas puras sobre valores con unidades. Por ejemplo, $\sin(40\text{apple})$ es una expresión perfectamente válida, pero es irreductible. Hay que dejarla en esta forma, porque no hay valor numérico que podemos sustituir en $\text{apple}$ . Sin embargo, esto se alivia un poco con los logaritmos. Es común en física obtener expresiones intermedias de la forma $$\log V_1-\log V_2=\beta t$$ o algo parecido. $\log (\rm m^3)$ por supuesto no tiene un valor numérico, es sólo una entidad simbólica irreductible. Sin embargo, los logaritmos tienen la bonita propiedad de convertir el producto en suma, por lo que la entidad simbólica problemática se anula (produciendo $\log\frac{V_1}{V_2}$ que es una función pura evaluada en un número puro).

En cuanto una unidad puede evaluarse con un valor numérico, el "problema" desaparece. Por ejemplo, el grado es simplemente ${}^\circ=\frac{\pi}{180}$ y el porcentaje es $\%=\frac{1}{100}$ y los radianes son simplemente $\text{rad}=1$ , por lo que se puede escribir $\sin(45^\circ+50\%+2\text{rad}+5)$ y no hay ningún problema con la suma de diferentes unidades.

En resumen: las unidades son cantidades que por definición no necesitan evaluarse a valores numéricos (son "asideros" que apuntan al mundo físico). Tratamos el producto no evaluado de valor y unidad como válido, pero no las sumas de unidades no coincidentes, simplemente porque el primero puede reinterpretarse en el mundo físico, mientras que el segundo no suele tener un significado razonable. Matemáticamente, no hay ninguna diferencia.

Answer 5

En principio $a x^2+b x+c$ se consideraría la adición de un objeto 3D,2D y 1D desde la perspectiva de las matemáticas del siglo XVII. Ellos afirmaban una ley de homogeneidad dimensional y más bien escribirían $a x^2+b^2 x+c^3$ .

Así que tiene mucho que ver con la forma en que modelamos el mundo físico y con el hecho de que consideremos el estatus ontológico de los objetos matemáticos como puramente abstracto o ideales de la física o incluso estar en 1-1 correspondencia con el mundo físico .

Desde una perspectiva puramente abstracta, podríamos definir la suma, la resta, la multiplicación y la división en casi cualquier colección de objetos abstractos, siempre y cuando podamos hacerla bien definida y consistente. Así, multiplicar manzanas y naranjas ... ¿Por qué no? Suena divertido.

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Otro ejemplo curioso es que (al menos en mi país) los profesores tienden a visualizar las fracciones como pizzas. Pero eso hace que la multiplicación y la división sean bastante misteriosas. También las fracciones negativas y las proporciones irracionales parecen muy extrañas desde esta perspectiva.