Cómo probar: es diferenciable en $f(x)$ $(0,+\infty)$

Question

Se define la función $f(x)$ $(0,+\infty)$. Sabemos que $f'(1)$ existe y tenemos que $$\forall x,y \in(0,+\infty), \quad f(xy)=yf(x)+xf(y)$$ How to prove:$ f(x)$ is differentiable on $(0,+\infty) $ and$% $ $f'(x)=\frac{f(x)}{x}+f'(1)?$
Tienes $f(1)=0$, pero no tienen idea a probar otras cosas.

Answer 1

Escribir $f(x):= x\>g(x)$ con una nueva función desconocida $g$, definido en ${\mathbb R}_{>0}$. La función de $g$, entonces satisface la ecuación funcional de los logaritmos: $$g(x\,y)=g(x)+g(y)\ ;\tag{1}$$ además uno ha $g(1)=0$$g'(1)=1$.

El uso de la inducción se deduce de $(1)$ que $g(x^n)=n\> g(x)$ todos los $x>0$ y todos los $n\in{\mathbb N}_{\geq1}$. Para cualquier $y>0$ con lo que tenemos $$g(y)=n\> g(y^{1/n})={y^{1/n}-1 \over{1/n}}\>{g(y^{1/n})-1 \over y^{1/n}-1}\qquad (n\geq 1)\ .\tag{2}$$ Como $$\lim_{t\to 0}{y^t-1\over t}=\log y\>, \qquad \lim_{x\to 1}{g(x)-g(1)\over x-1}=g'(1)=1$$ llegamos a la conclusión de $(2)$ que $$g(y)=\log y\qquad(y>0)\ .\tag{3}$$ De ello se sigue que nuestro problema tiene más de una solución, dado por $(3)$. Pero es fácil comprobar que la función $\log$, de hecho, cumple con todos los requisitos. Como resultado, la función de $f(x):=x\> g(x)$ resuelve el problema original, y es diferenciable en todos los de ${\mathbb R}_{>0}$.

Answer 2

Mediante el Consejo del Dr. Blatter, definir $g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ $g:x\mapsto\frac{f(x)}{x}$. Así que tenemos para cada $x,y\in(0,\infty)$: $$ g(xy)=\frac{f(xy)}{xy}=\frac{yf(x)+xf(y)}{xy}=\frac{yf(x)}{xy}+\frac{xf(y)}{xy}=\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}=g(x)+g(y). $$ % Que $g(xy)=g(x)+g(y)$. Por supuesto, inmediatamente podemos reconocer una tal función que satisfaga a esta relación, $\ln{x}$. Así, un tal $f$ que satisface nuestras hipótesis es $x\ln{x}$. En particular,

$$f'(x)=(x\ln{x})'=\ln{x}+\frac{x}{x}=\frac{x\ln{x}}{x}+\frac{1}{1}=\frac{f(x)}{x}+f'(1).$$

De hecho, cualquier múltiplo escalar de $x\ln{x}$ satisfará a esta relación.