Estoy teniendo algunos problemas con la siguiente pregunta:
Deje $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y deje $A$ ser invertible. Es verdad que en este caso $rank(BA)=rank(B)$?
Creo que esta afirmación es correcta, pero soy incapaz de demostrarlo.
Mis pensamientos hasta el momento:
Si $B$ también es invertible, la declaración sostiene claramente, desde el $GL_n(\mathbb{R})$ es un grupo.
Para $B$ no es invertible inmediatamente hacemos la desigualdad $rank(BA) \leq rank(B)$ debido a que las columnas de a $BA$ son combinaciones lineales de las columnas de a $B$.
Ahora he tratado de demostrar que el otro la desigualdad por la contradicción, es decir, suponiendo que $rank(BA)<rank(B)$ y demostrando que esto no puede ser. Pero no puedo completar este paso.
Gracias de antemano por cualquier ayuda!