5 votos

¿${\rm rank}(BA)={\rm rank}(B)$ Si $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es invertible?

Estoy teniendo algunos problemas con la siguiente pregunta:

Deje $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y deje $A$ ser invertible. Es verdad que en este caso $rank(BA)=rank(B)$?

Creo que esta afirmación es correcta, pero soy incapaz de demostrarlo.

Mis pensamientos hasta el momento:

Si $B$ también es invertible, la declaración sostiene claramente, desde el $GL_n(\mathbb{R})$ es un grupo.

Para $B$ no es invertible inmediatamente hacemos la desigualdad $rank(BA) \leq rank(B)$ debido a que las columnas de a $BA$ son combinaciones lineales de las columnas de a $B$.

Ahora he tratado de demostrar que el otro la desigualdad por la contradicción, es decir, suponiendo que $rank(BA)<rank(B)$ y demostrando que esto no puede ser. Pero no puedo completar este paso.

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

3voto

Jean-François Corbett Puntos 16957

Sugerencia. Si $A$ es invertible entonces el conjunto de vectores $A{\bf x}$, donde ${\bf x}\in{\Bbb R}^n$, es el conjunto de ${\Bbb R}^n$. Así $${\rm im}(BA)=\{BA{\bf x}\mid {\bf x}\in{\Bbb R}^n\}=\{B{\bf y}\mid {\bf y}\in{\Bbb R}^n\}={\rm im}(B)\ .$ $

Esto es más o menos la respuesta entera, pero ver si puede proporcionar el motivo de cada paso.

Nota: dependiendo de la notación que se utiliza en su curso, ${\rm im}(B)$ es lo mismo que ${\rm col}(B)$ o ${\rm CS}(B)$.

0voto

Incnis Mrsi Puntos 487

Sugerencia: Para cualquier dos matrices $A$ y $B$ la desigualdad $$ \DeclareMathOperator{rk}{rk}\rk(BA)\leq\rk(B) $$ sostiene desde las columnas de $BA$ son combinaciones lineales de las columnas de $B$. ¿Desde $\rk(X)=\rk(X^\top)$ también tenemos $$ \rk (BA) = \rk ((BA) ^ \top) = \rk (A ^ \top B^\top)\leq\rk(A^\top)=\rk(A) $$ puede usar esto para acabar el problema?

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X