C *-algebras: probar $(upu^{-1}-p)^+(uqu^{-1}-q)^-=0$ $p\leq q$, donde $u$ son proyecciones es unitario.

Question

Estoy estudiando grupo de representaciones y llegó a la siguiente pregunta, al igual que en el título:

Pregunta: Vamos a $p,q$ ser proyecciones en una C*-álgebra $A$$p\leq q$, y deje $\theta\in\operatorname{Aut}(A)$. Es cierto que $$(\theta(p)-p)^+(\theta(q)-q)^-=0?$$

Como de costumbre, $a^+$ $a^-$ son el positivo y negativo de las partes de un auto-adjunto elemento $a\in A$.

Esto es cierto en el conmutativa caso: Si $A=C(X)$, $p=1_P$ $q=1_Q$ de los subconjuntos $P\subseteq Q\subseteq X$ (donde $1_Y$ denota la función característica de a $Y$), y $\theta$ es de la forma $\theta(a)=a\circ f$ donde $f:X\to X$ es un homeomorphism. Entonces $$(\theta(p)-p)^+=1_{f^{-1}(P)\setminus P}\qquad\text{and}\qquad(\theta(q)-q)^-=1_{Q\setminus f^{-1}(Q)}$$ y desde $P\subseteq Q$, los conjuntos de $f^{-1}(P)\setminus P$ $Q\setminus f^{-1}(Q)$ son disjuntas.

Sin embargo, en la no-conmutativa caso, no puedo manejar la positiva y la negativa partes muy bien. Tenga en cuenta que podemos asumir que $\theta$ es la conjugación de algunos unitario: $\theta(p)=upu^{-1}$, por ir a las cruzadas del producto $A\rtimes_\theta\mathbb{Z}$ si es necesario.

Una respuesta en lo finito-dimensional caso es suficiente para mí.

Answer 1

Deje $A=M_3(\mathbb C)$, y $$ q=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{bmatrix},\ \ \ p=\begin{bmatrix}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\0&0&0\end{bmatrix},\ \ \ u=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}. $$ Entonces $$ uqu^*=\begin{bmatrix}0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix},\ \ \ la upu^*=\begin{bmatrix}0&0&0\\ 0&1/2&1/2\\ 0&1/2&1/2\end{bmatrix}. $$ Está claro que $$(uqu^*-q)^-=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.$$ Para $$upu^*-p=\begin{bmatrix} -1/2&-1/2&0\\-1/2&0&1/2\\0&1/2&1/2\end{bmatrix},$$ el autovalor positivo es $\sqrt3/2$, con autovector $v_2=\begin{bmatrix}-2+\sqrt3 & -1+\sqrt3&1\end{bmatrix}^T$. Así tenemos que la descomposición espectral es $$upu^*-p=-\frac{\sqrt3}2\,r_1+\frac{\sqrt3}2\,r_2,$$ where $r_1,r_2$ are respectively the orthogonal projections onto the one-dimensional subspaces spanned by $v_1$ and $v_2$. De ello se sigue que $$ (upu^*-p)^+=\frac{\sqrt3}2\,r_2=\frac{\sqrt3}{2\|v_2\|^2}\,v_2v_2^* =\frac{\sqrt3}{2(12-6\sqrt3)}\begin{bmatrix} 7-4\sqrt3&5-3\sqrt3&-2+\sqrt3\\ 5-3\sqrt3&4-2\sqrt3&-1+\sqrt3\\ -2+\sqrt3&-1+\sqrt3&1\end{bmatrix}. $$ Ahora es evidente que
$$(upu^*-p)^+(uqu^*-q)^-=\begin{bmatrix} 7-4\sqrt3&0&0 \\ 5-3\sqrt3&0&0 \\ -2+\sqrt3&0&0\end{bmatrix}.$$