Que $X=\mathrm{Conv}(\mathbf R)$, la colección de todas las secuencias convergentes en $\mathbf{R}$. ¿Es el % de espacio normado $(X,\|\cdot\|_\infty)$completado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DiGi
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Sugerencias: Supongamos que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia de Cauchy en $X$, donde $x_n=\langle x_n(k):k\in\Bbb N\rangle$ $n\in\Bbb N$. Usted quiere encontrar una secuencia $y=\langle y(k):k\in\Bbb N\rangle\in X$ tal que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle\to y$.
Muestran que cada $k\in\Bbb N$, $\langle x_n(k):n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia de Cauchy en $\Bbb R$.
Uso (1) para obtener a un buen candidato para $y$.
Mostrar que %#% $ #%
Para cada $$\lim_{n\to\infty}\|x_n-y\|=0\;.$ deje $n\in\Bbb N$. Mostrar que $p_n=\lim\limits_{k\to\infty}x_n(k)$ converge a un $\langle p_n:n\in\Bbb N\rangle$.
Mostrar que $p\in\Bbb R$ y concluir que $\lim\limits_{k\to\infty}y(k)=p$.
