¿Cómo podemos encontrar los dos números cuando se dan la suma y la suma de sus HCF y LCM?

Question

Así, la cuestión es que la suma de HCF y LCM es $96$ y la suma de los números es $48$. Tenemos que encontrar los números.

Aquí está mi intento a esta pregunta:

Vamos a los números de ser $a$ $b$ y su LCM y HCF ser $l$ $h$ respectivamente. Así, el 3 ecuaciones que tenemos son

$$a + b = 48$$ $$l + h = 96$$ $$ab = lh$$

Sustituyendo el valor de $a$ $48 - b$ $l$ $96 - h$ $ab = lh$ tenemos $$(48 - b)b = (96 - h)h \\ \implies 48b - b^2 = 96h - h^2 \\ \implies 48b - 96h = b^2 - h^2$$

En la comparación de LHS con el HR llegamos $b$$48$$h$$96$. Sin embargo, esto significaría que la LCM y $a$ $0$ lo cual no es cierto como LCM no puede ser menos el HCF o los números. Existe alguna otra forma de hacerlo?

Answer 1

$$a + b = 48$$ $$l + h = 96$$ $$ab = lh$$

Así $$l = ab/h$ $

Que $a = ph$, $b = qh$

Por lo tanto $$ph + qh = 48$ $ %#% $ #% así $$pqh + h = 96$ $ $$pqh + h = 2(ph + qh)$ $ $$pq + 1 = 2p + 2q$ $ sumando 4 a ambos lados podemos factor es primero el LHS $$pq -2p -2q = -1$$ $$pq -2p -2q + 4 = 3$ $ 3, así que uno de los $$(p-2)(q-2) = 3$ $p-2$ 3 y y el otro debe ser 1 (ya que estamos trabajando con enteros positivos).

WLOG, que $q-2$ y $p-2 = 3$ pues $q-2 = 1$y $p=5$

$q=3$ y desde $p+q=8$

$(p + q)h = 48$

Así $h = 48/8 = 6$ y $a = 5.6 = 30$

y $b = 3.6 = 18$

Por lo tanto, $l = LCM(5.6, 3.6) = 5.18 = 30.3 = 90$

Answer 2

Por lo tanto, usted tiene % $ $$b^2 - 48b + (96h - h^2) = 0$utilizando la fórmula cuadrática para obtener $b$ $h$, $$b = 24 \pm \sqrt{h^2 - 96h + 576} = 24 \pm \sqrt{(h-90)(h-6)+36}$ $ que queremos lo que es bajo el signo de la raíz a una plaza, y también necesitamos $h \leq 48$. Mediante la expresión a la derecha, $h = 6$ hace el trabajo, que nos da $b = 18$ o $b = 30$.

Answer 3

Conjunto $d=\gcd(a,b)$, $\;a'=\dfrac ad$, $\;b'=\dfrac bd$, $\;m=\operatorname{lcm}(a,b)$. Podemos traducir la hipótesis como $$(a'+b')d=48,\qquad m+d=(a'b'+1)d=96.$$ Podemos deducir $a'b'+1=2(a'+b')$. Observar esto implica $a'b'$ es extraño, por tanto,$a'$$b'$. Además, $a $ $b $ no puede ser igual, ya que esto conduce a $m=d=a=b=24$, y en este caso $m+d\neq 96$.

Por lo $a'+b'\ge 4$, e $d$ es un divisor de a $48,{}\le 12$. Vamos a determinar los valores de $a'+b'$ $a'b'$ para todos los valores posibles de a $d$. La lista completa de tales divisores es

• $1,2, 4, 8$ (no divisible por $3$). Aquí están los correspondientes valores de$a'+b'$$a'b'$, y la ecuación cuadrática $a'$ $b'$ son raíces de: $$\begin{array}{cccl} d &a'+b'&a'b'&a',b'\text{ sol. of}\\ \hline 1&48&95&t^2-48t+95\\ 2&24&47 &t^2-24t+47\\ 4&12&23&t^2-12t+23 \\ 8&6&11&t^2-6t+11 \end{array}$$ Para $d=1$, el discriminante es igual a $481$, que no es un cuadrado perfecto. Para los otros casos, el producto de las raíces es un número primo, por lo tanto entero raíces deben ser $a'=1$ $b'=47,23$ o $11$ respectivamente. Sin embargo $1$ no es una raíz de cualquiera de estas ecuaciones.
• $3,6,12$ (divisible por $3$). Vamos a dibujar la misma mesa de antes: $$\begin{array}{cccl} d &a'+b'&a'b'&a',b'\text{ sol. of}\\ \hline 3&16&31&t^2-16t+31\\ 6&8&15 &t^2-8t+15\\ 12&4&7&t^2-4t+7 \end{array}$$ La primera y tercera ecuaciones no tienen entero solución, ya que la $1$ no es una raíz de la misma. La segunda ecuación tiene raíces $3$$5$. De dónde la única solución: $$a=\color{red}{18},\quad b=\color{red}{30}.$$

Answer 4

Que $d=\gcd (a,b).$ Let $e=$lcm $(a,b).$ tenemos $a=a'd$ y $b=b'd$ donde $a',b'$ son números enteros. Desde lcm $(a,b)\cdot \gcd (a,b)=|ab|,$ tenemos $de=|a'b'd^2|.$ desde $d> 0,$ tenemos $e=|a'b'|d.$

Así $d(|a'b'|+1)=|a'b'|d+d=e+d=96=2(48)=2(a+ b)=2(a'd+b'd)=2d(a'+b').$

Desde $d\ne 0,$ tenemos equivalente $|a'b'|+1=2a'+2b',$ $(\;a'b'>0\land (a'-2)(b'-2)=3\;)\lor (\;a'b'<0\land (a'+2)(b'+2)=3\;).$

Por lo tanto, $$\bullet \quad (\; a'b'>0\land \{a',b'\}\in \{\{3,5\}, \{1,-1\}\;)\lor (\;a'b'<0 \land \{a',b'\}\in \{\{1,-1\},\{-5,-3\}\}.$$ Which reduces to $\{a'b'\}\in \{\{3,5\},\{1,-1\}\}.$ The second possibility $\{a',b'\}=\{1,-1\}$ is rejected because it implies $48=a+b=d (a '+ b') = 0. $

Por lo tanto $48=d(a'+b')=d(3+5).$ % que $d=6,$y $\{a,b\}=\{a'd,\; b'd\}=\{18,30\}.$