Si hay $4$ de puntos al azar en el plano cuya coordenada horizontal y la coordenada vertical se distribuyen uniformemente en el intervalo de $\left(0,1\right)$, ¿cuál es el tamaño más grande esperada (o cardinalidad) de un subconjunto en el que los puntos forman los vértices de un polígono convexo? Gracias.
Respuesta
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JiminyCricket
Puntos
143
El casco convexo de cuatro puntos consta de $3$ o $4$ puntos, y esta es también la cardinalidad de la mayor subconjunto de puntos que forman un polígono convexo. Si la probabilidad de $4$ puntos para formar un cuadrilátero convexo es $p$, se espera que la cardinalidad de el subconjunto más grande es $p\cdot4+(1-p)\cdot3=3+p$.
La probabilidad de que $4$ puntos independientemente distribuidos de manera uniforme en una plaza de un cuadrilátero convexo es dado en el MathWorld artículo sobre Sylvester del cuatro-punto de problema (junto con varias generalizaciones) como $25/36$. Por lo tanto la cardinalidad esperada de el subconjunto más grande es $133/36$.
