Quiero probar lo siguiente:
1) Suponga que
$$A_{2,2}=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}$$
real
y supongamos que el sistema de ecuaciones diferenciales
$$\begin{matrix} x'=a_{1,1}x+a_{1,2}y\\ y'=a_{2,1}x+a_{2,2}y \end{de la matriz}$$
tiene al menos una solución periódica $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}$. Mostrar que en este caso, todas las soluciones son periódicas.
2) Supongamos $A \in M_{n,n}(\mathbb{R})$ es invertible con $n$ impar. Mostrar que existe una solución del sistema de ecuaciones $x'=Ax$ que no es periódico.
Llegué a la siguiente.
Hemos demostrado en la conferencia en la que una ODA de este tipo tiene una solución de la forma $x(t)=\exp(At)\,x(0)$. Como nuestra solución es periódica de período de $\omega$ sabemos:
$$ \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix} =exp(A)\,\begin{pmatrix} f(0) \\ g(0) \end{pmatrix}=\exp(A(t+\omega))\,\begin{pmatrix} f(0) \\ g(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f(t+\omega) \\ g(t+\omega) \end{pmatrix}$$
Mis ideas era ahora para demostrar que $\exp(At)=\exp(A(t+\omega))$ y entonces deducir que todas las soluciones tienen que ser periódica. Pero yo un poco atascado por la forma en que debería probar esto.
