Si es diferenciable $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $f(x) \neq f'(x)$, muestran que $\{x\in [0,1] \text{ and } f(x) = 0\}$ es finito.

Question

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable, $f(x) \neq f'(x)$ todos los $x$, muestran que $\{x\in [0,1] \text{ and } f(x) = 0\}$ es finito.

Me han demostrado que no puede haber un intervalo de $[a,b]$ $[0,1]$ tal que $f(x) = 0$ ya que esto implicaría que $f$ es constante en este intervalo, lo que implica que $f'(x) = 0$ en este intervalo y así no hay contradicción, ya que para $x\in [a,b], f(x) = 0$$f'(x) = 0$, ya que el intervalo es constante, sino $f(x) \neq f'(x)$ todos los $x$.

Sin embargo, yo puedo demostrar que para algunos infinita secuencia $\{x_n\}$, dicen los números racionales entre $0$ $1$ la proposición es verdadera.

Answer 1

Uso que una secuencia infinita de ceros tendría un subsequence convergente, desde $[0,1]$ es compacto. Límite $x$ de este subsequence cumple $f(x)=0=f'(x)$.

Answer 2

Si es infinito $X = \{x\in [0,1] \mid f(x)=0\}$, $X$ tiene un límite de $\bar x \in [0,1]$. Por continuidad, $f(\bar x) = 0$. Por differentiability, $$ f'(\bar x) = \lim_{\substack {x x\in \to \bar x\\ X\setminus\ {\bar x\}}} \frac {f (x)-f(\bar x)} {x - \bar x} = \lim_{\substack {x x\in \to \bar x\\ X\setminus\ {\bar x\}}} \frac 0 {x - \bar x} = 0, $$ % así $f(\bar x) = f(\bar x)$, contrario a la Asunción.

Answer 3

Si no me equivoco, incluso podemos mostrar que $f$ tiene más de una raíz en $\mathbb{R}$.

Por el contrario, supongamos que tenemos dos ceros, $x_0 < x_2$. Desde $f'(x_0) \ne 0$, podemos suponer que (w.l.o.g.) que $f'(x_0) > 0$. Ahora nos fijamos $x_1 = \inf\{z > x_0 : f(z) = 0\}$. Podemos fácilmente obtener un $f(x_1) = 0$ (por continuidad) y $x_1 > x_0$ desde $f'(x_0) > 0$.

Ahora tenemos $f'(x_1) \ne 0$ y por el teorema del valor intermedio podemos concluir $f'(x_1) < 0$. Ahora, podemos definir la función de $g(z) = f(z) - f'(z)$$g(x_0) < 0 < g(x_1)$. Esta $g$ es el derivado de la $\int f \,\mathrm{d}x - f$. Por consecuencia del teorema de Darboux, nos encontramos con algunos $z \in (x_0,x_1)$$g(z) = 0$, es decir, $f(z) = f'(z)$, lo cual es una contradicción de la asunción.