Probar es irreducible en $x^3-3x+4$ $\mathbb{Q}[x]$

Question

Yo quiero probar $x^3-3x+4$ es irreducible en a $\mathbb{Q}[x]$. Eisenstein criterio no se aplica aquí, así que creo que el método más simple sería el uso Racional de las Raíces de la Prueba, derecho?

Si puedo usar las raíces racionales de prueba aquí, entonces ya es monic me basta con comprobar los factores del término constante: \begin{align*} (1)^3-3(1)+4&=2 \\ (2)^3-3(2)+4&=6 \\ (4)^3-3(4)+4&=56 \\ (-1)^3-3(-1)+4&=6 \\ (-2)^3-3(-2)+4&=2 \\ (-4)^3-3(-4)+4&=-48 \end{align*}

Por lo tanto, si $x^3-3x+4$ es reducible, tendría un grado 1 monomio factor de $(x-a)$ para uno de los $a=1,2,4,-1,-2,-4$ he probado anteriormente. Sin embargo, dado que ninguno de estos $a$ son raíces, así que no tienen un grado de 1 factor y por lo tanto es irreducible.

Lamentablemente yo no puedo encontrar ninguna referencia a las Raíces Racionales Teorema de Artin de Álgebra de texto (2ª edición), ni siquiera en el índice (sorprendente!). Así que me estoy refiriendo a la Wikipedia, y no dice específicamente: ¿esta prueba se mantenga en $\mathbb{Q}[x]$? Esperemos que es aplicable aquí y lo he utilizado correctamente...

Gracias!

Answer 1

Las raíces racionales de prueba trabaja de hecho en la $\mathbb{Q}[x]$. Si un polinomio tiene grado menor o igual a $3$, entonces es irreducible sobre los racionales si y sólo si tiene una raíz racional (de Demostrar por qué).

En Wikipedia se afirma que las raíces racionales de prueba tiene para los polinomios con coeficientes enteros. Tenga en cuenta que cualquier polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ puede ser transformado en un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ simplemente multiplicando por una constante, que no afectará a irreductibilidad. En otras palabras, $f(x)$ es irreducible si y sólo si $c \cdot f(x)$ es irreductible, para cualquier valor distinto de cero $c \in \mathbb{Q}$.

Answer 2

Si uno está realmente en un estado de ánimo de Eisenstein (y uno no debe ser), $y=x+1$.

Entonces $x^3-3x+4=(y-1)^3-3(y-1)+4=y^3-3y^2+6$. y podemos utilizar el criterio de la irreductibilidad con $p=3$.

Answer 3

Tratar de demostrar que no tiene ninguna raíces en $\mathbb{Q}$, que es un buen criterio de la irreductibilidad.

Otro truco, es que si es irreducible, es irreducible por todas $x\in \mathbb{R}$ lo $x=\frac{1}{y}$ entonces trate de eisenstein en el nuevo polinomio.