Un polinomio irreducible de grado coprimo con el grado de una extensión es irreducible sobre esta extensión

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil mostrar esto:

Si $K$ es una extensión de $\mathbb{Q}$ con grado de $m$ $f(x)$ un polinomio irreducible sobre los racionales con grado de $n$, de tal manera que $\gcd(m, n)=1$, $f(x)$ es irreducible sobre $K$.

Lo he probado por escrito $f(x)=a(x)b(x)$ y luego busca en los coeficientes de los polinomios (algunos de ellos deben pertenecer a $K-\mathbb{Q}$, lo que podría resultar en una contradicción) sin ningún éxito. No tengo idea de donde el uso de la hipótesis de que m y n son relativamente primos.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Que $u$ sea una raíz de $f(x)$. Entonces $[\mathbb{Q}(u):\mathbb{Q}] = n$. Ahora consideremos $K(u)$. Sabemos que $[K(u):K]\leq n$, desde el monic irreducible de $u$ $K$ divide $f$. Desde $$[K(u):\mathbb{Q}] = [K(u):K][K:\mathbb{Q}] = m[K(u):K]\leq mn$ $ y $$[K(u):\mathbb{Q}] = [K(u):\mathbb{Q}(u)][\mathbb{Q}(u):\mathbb{Q}] = n[K(u):\mathbb{Q}(u)]$ $ entonces $[K(u):\mathbb{Q}]$ es a más $nm$, es un múltiplo de $n$ y es un múltiplo de $m$. Desde $\gcd(n,m)=1$, se deduce que $[K(u):\mathbb{Q}]=nm$, por lo que es el grado de $[K(u):K]$ $n$.

¿Qué implica sobre la monic irreducible de $u$ $K$ y $f$?