¿Por qué pediría el autor si utilizó la Ley sociable para demostrar + no es equivalente a *?

Question

Acabo de empezar a leer Una Introducción al Análisis Matemático por H. S. el Oso y el problema 1 es el siguiente:

Problema 1: Demostrar que + y * son necesariamente diferentes operaciones. Esto es, para cualquier sistema (F, +, *) que satisface los Axiomas I, II, y III, no puede suceder que x + y = x * y para todo x, y. Sugerencia: Usted no sabe hay cualquier número distinto de 0 y 1, de modo que su argumento probablemente debería involucrar sólo a estos números. Se utiliza Axioma II? Si no, el estado de forma explícita, el más fuerte resultado de que en realidad se demostró.

En este libro, el Axioma I es conmutatividad de + y *, Axioma II es la asociatividad de + y *, y el Axioma III es la existencia de identidades (x+0=x, x*1=x, 0 no es igual a 1).

Mi pregunta: Simplemente ¿por qué el autor se pregunta específicamente el lector si él/ella usa Axioma II (asociatividad) y ¿qué es exactamente lo que quieren decir con "Si no, el estado de forma explícita, el resultado más fuerte que en realidad resultó ser"? Por qué no incluyen los últimos dos frases?

Por lo que vale, aquí está mi solución:

Para probar: Reexpresado:

Y yo justificados 5 citando Axioma III desde el Axioma III incluye la declaración de que 0 no es igual a 1.

Answer 1

La idea básica es la siguiente. Desde el neutro Axiomas III, y conmutatividad de la suma tenemos

$$\begin{eqnarray}\rm x = 0 + x &\rm \\ \rm y *\: 1 &=\rm y \end{eqnarray}$$

Si $\ +\, =\, *\ $ luego se alinean términos son unificado para $\rm\:y = 0,\ x = 1,\:$ rendimiento

$$\rm\ 1 = 0 + 1 = 0 * 1 = 0 $$

contra la hipótesis de la $\rm\:1 \ne 0.\:$ $\rm\: +\: \ne\: *\:$ porque toman valores diferentes en el punto de $\rm\:(0,1)$.

Tenga en cuenta que la prueba no utiliza la asociatividad, y no uso conmutatividad si el estado neutral de los axiomas anteriores. En cualquier caso, sólo uno de los conmutativa axiomas es necesario, por lo que el neutro de los axiomas pueden ser ordenados de manera que por encima de la unificación es posible. En particular, la inferencia de obras en noncomutative anillos, es decir, los anillos, donde la multiplicación no es necesariamente conmutativo. Además, debido a que la prueba no hizo uso de la asociatividad, también se trabajará en no asociativo de los anillos.

Nota $\ $ Este método de derivar consecuencias por la unificación de términos en las identidades es un método básico en el razonamiento ecuacional (plazo de reescritura), por ejemplo, google Knuth-Bendix o Grobner base de algoritmos.

Answer 2

Seguramente el autor quiere agregar que no es necesario el uso de Axioma II con el fin de demostrar que las leyes deben ser diferentes.

Si luego se olvidan axioma II, y si usted supone que + y * son los mismos, sus axiomas :

axioma 1 : $x+y = y+x$
axioma 3a : $x+0 = x$
axioma 3b : $x+1 = x$
axioma 3c : $0 \neq 1$.

Con el fin de obtener una contradicción debe utilizar axioma 3c, y la única forma de hacerlo es demostrar que los axiomas de 1,3 a,3b implica que $0 = 1$.

Para que realmente se están investigando las leyes conmutativa con dos elementos de identidad, y, de hecho, que necesariamente tienen que demostrar que el elemento de identidad de un conmutativa de la ley debe ser único :

Si el 0 y el 1 son los elementos de identidad de +, entonces 0 = 0+1 = 1+0 = 1, de modo que es la misma. Allí, hemos demostrado que si un conmutativa ley tiene un elemento de identidad, es único.

Answer 3

Probado sin asociatividad:

Teniendo en cuenta las dos operaciones diferentes, $x+y\neq x*y$ no puede hacer $\forall x,y$ aun cuando la orden de evaluación es importante (el caso donde el axioma II es falsa, por ejemplo, la resta y la división).

Answer 4

Entiendo que esto que el autor también quiere enseñar cómo entender y escribir una prueba en general. Si se le administra una prueba de una declaración de un buen lugar para empezar a entender esto, es saber dónde exactamente cada supuesto se utilizó. La segunda cuestión es que los supuestos no usamos y si realmente podemos demostrado un mayor resultado.

Esta es una muy útil lección para su futuro como un matemático. La primera pregunta es, probablemente, más importante cuando se trata de la comprensión específica de la prueba, mientras que la segunda pregunta puede ayudar a la vinculación de la declaración con otras declaraciones similares. Obviamente, en su más elemental ejercicio podría no revelar toda su importancia, pero tan pronto como las cosas se ponen más complicaated es una buena idea para mantener a estas dos preguntas en mente.