Cada función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua en cada conjunto acotado.

Question

Cada función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua en cada conjunto acotado.

Esto es lo que he hecho hasta ahora. Deje $U \subset \mathbb{R}$ estar delimitado conjunto. Deje $\epsilon> 0$. Para cada $x \in U$, hay un $\delta_x$ que si $|a - x| < \delta_x$,$|f(x) - f(a)| < \epsilon$. Ahora aquí es donde no estoy seguro de si mi razonamiento es correcto. Tenemos

$$U \subseteq \bigcup_{x \in U} (x - \delta_x, x + \delta_x) $$

Parece intuitivamente claro que desde $U$ es acotado, la unión de sólo un número finito de intervalos que contiene $U$, en cuyo caso se puede simplemente dejar que $\delta = \min\{\delta_x : x \in I\}$ donde $I$ es de un número finito de indexación conjunto.

Ayuda por favor?

Answer 1

Hay un número infinito de elementos en la suma, así que usted no puede tomar el min tan fácilmente. Usted podría tener $\delta=0$. Usted tiene la buena idea, pero necesitamos construir la suma finita. Vamos a suponer que U cerrada, porque siempre podemos hacer lo mismo en el cierre de la U.

Dado $\epsilon>0$$x_0=\min U$, vamos a definir $\forall n,\ x_n=\max\left\{ { x\in \left[x_{n-1}, \infty \right] } \mid { \lvert f(x)-f(x_{n-1})\rvert\leq\epsilon } \right\}$. Tenga en cuenta que $x_n$ puede ser igual a $\infty$. $\left(x_n\right)$ es stritly alargando, así que convergen a $x_\infty \in \mathbb R_+ \cup \{\infty\}$. Si $x_\infty \neq \infty$, a continuación, $f$ no es continua en a $x_\infty$, lo cual no es posible.

Tenemos $U $ delimitada, y $x_n \rightarrow +\infty$, lo $\exists n_0, \forall n>n_0, x_{n} \notin U $. Ahora $U \subset \bigcup_{i=0}^{n_0} [x_i, x_{i+1}]$ y tiene su suma finita.