Biyección continua de $\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo de una biyección continua de $\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$

Answer 1

Ok, añadiré mi pista como respuesta para que no quede sin respuesta.

• Mi opinión es que no es posible. Si se quita un número finito de puntos de $\mathbb R^2$ permanece conectado, mientras que $\mathbb R$ no lo hace. Eso debería ser una pista.

Answer 2

Supongamos que $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ es una función. Si $f$ es inyectiva entonces existen puntos $a<b<c$ en el rango de $f$ . Dejemos que $P=f^{-1}(b)$ . Entonces $\mathbb R^2\setminus\{P\}$ es la unión de los conjuntos no vacíos disjuntos $f^{-1}(-\infty,b)$ y $f^{-1}(b,\infty)$ . Si $f$ también es continua, entonces estos conjuntos son abiertos. Esto viola la conectividad de $\mathbb R^2\setminus\{P\}$ .

Answer 3

Es un resultado bien conocido de la topología básica que un mapa continuo inyectivo (biyectivo) $$f:X\rightarrow Y$$ de un espacio compacto $X$ en un espacio de Hausdorff $Y$ es cerrado (un homeomorfismo).

Si se aplica este resultado en su caso a cualquier disco cerrado en $\mathbb{R}^2$ y su imagen se ve que su biyección es un homeomorfismo local, por lo tanto un homeomorfismo. Usando, por ejemplo, la razón de Chandrasekhar se obtiene una contradicción.