¿Son cada dos vector haces débil isomorfo?

Question

Deje $E,F$ dos liso vector de paquetes del mismo rango de más de un suave compacto colector $M$.

No existe una débil isomorfismo $\Phi \in W^{1,2}(M,E^* \otimes F)$$E$$F$?

yo.e estoy preguntando si existe un paquete de morfismos $\Phi:E \to F$ que se encuentra en un adecuado espacio de Sobolev, y es un isomorfismo (de las fibras) en casi todas partes.

Para un ejemplo concreto, podemos comenzar con $E=T\mathbb{S}^2, F=\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^2$. Hay un medibles marco global en $T\mathbb{S}^2$?

Por supuesto, en el buen categoría de lo que yo estoy pidiendo es una tontería - el punto es que me interesa saber, si, cuando el debilitamiento de la regularidad de los requisitos de cada dos paquetes de la misma fila son indistinguibles.

Answer 1

Usted puede conseguir algo mejor. Ignorando los conjuntos de medida cero, todos los vectores de paquetes sin problemas isomorfos.

Vamos a considerar primero el ejemplo específico de $TS^2$. Creo que de $S^2$, ya que la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^3$ y deje $X_1(p)$ ser la proyección ortogonal del vector $e_1 = (1,0,0)$ sobre el plano tangente de $S^2$$p$. Este es un mundial de campo de vectores en $S^2$ que se desvanece en dos puntos $(\pm 1, 0, 0)$. Tome $X_2(p)$ es la proyección ortogonal del vector $e_2 = (0,1,0)$ sobre el plano tangente en $p$. Esto es de nuevo un global de campo de vectores en $S^2$ que se desvanece en dos puntos $(0, \pm 1, 0)$. El lugar geométrico de los puntos en que $X_1,X_2$ son linealmente dependientes es precisamente el ecuador $\{ (x,y,0) \, | \, x^2 + y^2 = 1 \}$ por lo que el mapa de $S^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow TS^2$ $(p,(a,b)) \mapsto aX_1(p) + bX_2(p)$ es un buen paquete de mapa, que es un isomorfismo de las fibras del ecuador.

Esta situación es bastante general y genérico. Dado un rango de $k$ bundle $E$$M$, se puede definir el submanifolds $\Sigma_r \subseteq \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^k, E)$ que consta de paquete de morfismos de rango $r$. Esos son suaves submanifolds de codimension $(k - r)^2$. Resulta que un genérico sección $s$ $\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^k,E)$ cruza la submanifolds $\Sigma_r$ transversalmente de modo que la degeneración de los locus

$$ \mathcal{D}_r(s) := \{ p \in M \, | \operatorname{rank} s(p) = r \} $$

es un buen colector de codimension $(k - r)^2$. En particular, el locus singular $$ \Sigma(s) := \{ p \in M \, | \, \operatorname{rank} s(p) < k \}$$ está contenido en la unión de submanifolds de positivo codimension y así tiene medida cero. Un genérico sección le dará un buen paquete de mapa, que es un isomorfismo de distancia a partir de un conjunto de medida cero entre el $E$ y el trivial vector paquete.

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A ver que $\Sigma_r$ es un colector, que vamos a discutir en primer lugar por qué el espacio de $\Delta_r$ de las matrices de rango $r$ es un buen submanifold de $M_k(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{k^2}$ de codimension $(k - r)^2$. Conjunto

$$ U = \{ X \in M_k(\mathbb{R}) \, | \, \text{the top } r \times r \text{ minor of } X \text{ is non-zero} \}. $$

A continuación, $U$ es un subconjunto abierto de $M_k(\mathbb{R})$. Vamos a describir un gráfico de $U \cap \Delta_r$ y un localmente la definición de la función. Tome una matriz de $X \in U \cap \Delta_r$ y escribo como un bloque de la matriz

$$ X = \begin{pmatrix} A & B \\C & D \end{pmatrix} $$

con $A \in M_r(\mathbb{R}), \det(A) \neq 0$.

La realización de "bloque de eliminación de Gauss" para eliminar la $B$, obtenemos

$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - CA^{-1}B \end{pmatrix} $$

pero dado que el rango de la mano derecha es $r$, debemos tener $D = CA^{-1}B$. Esto le da un local gráfico de $\operatorname{GL}_r(\mathbb{R}) \times M_{r \times (k - r)}(\mathbb{R}) \times M_{(k - r) \times r}(\mathbb{R}) \rightarrow U \cap \Delta_r$ de la forma

$$ (A,B,C) \mapsto \begin{pmatrix} A & B \\ C & CA^{-1}B \end{pmatrix} $$

y un localmente la definición de la función $f \colon U \rightarrow M_{k-r}(\mathbb{R})$

$$ f \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = D - CA^{-1}B $$

de modo que $f^{-1}(0_{(k - r) \times (k - r)}) = U \cap \Delta_r$. Esto demuestra que $U \cap \Delta_r$ es un submanifold de codimension $(k - r)^2$. Desde un rango de $r$ matriz debe tener algunos no-cero $r \times r$ menor, el argumento anterior puede ser aplicado después de permuting las coordenadas alrededor de cualquier rango $k$ matriz que muestra que $\Delta_r$ es un submanifold.

Por último, el argumento anterior funciona tan bien para las familias y permite mostrar que $\Sigma_r$ es un submanifold de codimension $(k - r)^2$.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante y no sé la respuesta en general. Para la esfera 2-esfera $S^2$, la tangente del paquete es de hecho trivializable al debilitar la regularidad.

Para demostrar que, a tomar un local de lisa sección $g$ de la estructura de paquete de $p:{\cal F}(TS^2)\to S^2$ definido en el subconjunto $U=S^2-\{\ast\}$ donde $\ast\in S^2$ es cualquier punto. Definir la función de $f:S^2\to {\cal F}(TS^2)$ $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} g(x) & x\neq \ast \\ L\in p^{-1}(\ast) & x=\ast \end{array} \right. $$ donde $L$ es cualquier elemento en la fibra,$p^{-1}(\ast)$. Desde $\{\ast\}$ tiene medida cero en $S^2$, esto define una sección global de la estructura de un paquete con $W^{k,2}$ regularidad para cualquier $k$.

Editar: Desde la teoría de la medida que está implicado aquí, yo también esperaría que el número de clases de equivalencia de a $W^{1,2}$-isomorfo paquetes a través de una suave colector de cambiar a medida que se deforman por una suave homotopy equivalencia: algo que no ocurre en el buen caso.

Answer 3

Como explica aquí, podemos elegir siempre un gráfico de coordenadas que cubre el colector entero excepto una medida cero sistema. Sobre esta tabla nosotros podemos por supuesto suavemente trivializar cualquier paquete.